Phương pháp giải:
Đặt \[\cos \,x = t,\,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\]. Tìm GTLN, GTNN của hàm số \[y = f\left[ t \right] = 2{t^2} + t - 1\] trên đoạn \[\left[ { - 1;1} \right]\] bằng cách lập BBT.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[y = \cos 2x + \cos x = 2{\cos ^2}x + \cos x - 1\].
Đặt \[\cos {\mkern 1mu} x = t,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} t \in \left[ { - 1;1} \right]\]. Hàm số trở thành \[y = 2{t^2} + t - 1\]. Đây là 1 parabol có bề lõm hướng lên, có hoành độ đỉnh \[x = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{1}{4}\].
BBT:
Dựa vào BBT ta có: \[M = 2,\,\,m = - \dfrac{9}{8}\],
Vậy \[M + m = 2 - \dfrac{9}{8} = \dfrac{7}{8}\].
Chọn D.
Giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}y = {\sin ^3}x + \cos 2x + \sin x + 2\\ = {\sin ^3}x + \left[ {1 - 2{{\sin }^2}x} \right] + \sin x + 2\\ = {\sin ^3}x - 2{\sin ^2}x + \sin x + 3\end{array}\]
Đặt \[t = \sin x\], \[x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow t = \sin x \in \left[ {0;1} \right]\]
Khi đó, hàm số trên trở thành \[f\left[ t \right] = {t^3} - 2{t^2} + t + 3\]
Xét hàm số
\[f\left[ t \right] = {t^3} - 2{t^2} + t + 3\] trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\] ta có:
\[\begin{array}{l}f'\left[ t \right] = 3{t^2} - 4t + 1 = \left[ {3t - 1} \right]\left[ {t - 1} \right]\\f'\left[ t \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\]
Ta có: \[f\left[ 0 \right] = 3;\] \[f\left[ {\dfrac{1}{3}} \right] = \dfrac{{85}}{{27}}\]; \[f\left[ 1 \right] = 3\]
Suy ra
\[\begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left[ t \right] = f\left[ {\dfrac{1}{3}} \right] = \dfrac{{85}}{{27}}\\m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left[ x \right] = f\left[ 1 \right] = f\left[ 0 \right] = 3\end{array}\]
Do đó \[P = M - m = \dfrac{4}{{27}} \Leftrightarrow 0 < P < 1\]
Chọn B.
LIVESTREAM 2K4 ÔN THI THPT QUỐC GIA 2022
ĐỀ MINH HỌA THI GIỮA KÌ 2 HAY NHẤT - 2k5 Livestream VẬT LÝ thầy TÂN KỲ
Vật lý
BÀI TẬP GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRỌNG TÂM - 2k5 - Livestream TOÁN thầy QUANG HUY
Toán
THẤU KÍNH MỎNG LÝ THUYẾT + BÀI TẬP TRỌNG TÂM - 2K5 Livestream LÝ THẦY TUYÊN
Vật lý
BENZEN VÀ ĐỒNG ĐẲNG - LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM - 2k5 - Livestream HÓA cô THU
Hóa học
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG - 2k5 - Livestream TOÁN thầy QUANG HUY
Toán
LĂNG KÍNH - 2K5 Livestream LÝ THẦY TUYÊN
Vật lý
CHỮA ĐỀ MINH HỌA THI GIỮA KÌ 2 - THPT NGÔ QUYỀN - 2K5 - Livestream HÓA cô HUYỀN
Hóa học
Xem thêm ...
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sinx − 4 cosx + 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. M = 4 ; m = − 6
B. M = 6 ; m = − 4
C. M = 5 ; m = − 5
D. M = 3 ; m = − 4
Các câu hỏi tương tự
Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x + 2 sin x + 3 2 cos x − sin x + 4 . Tính M,m.
A. 4 11 .
B. 3 4
C. 1 2
D. 20 11 .
Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củ hàm số y = 3 sin x - 4 cos x + 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. M = 4; m = -6
B. M = 6; m = -4
C. M = 3; m = -4
D. M = 5; m = -5
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x - 1 sin x - cos x + 3 khi đó:
A. M = - 1 ; m = 1
B. M = 1 7 ; m = - 1
C. M = - 1 7 ; m = 1 7
D. M = - 1 ; m = - 1 7
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 − s i n x . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. M = 1 ; m = − 1.
B. M = 2 ; m = 1.
C. M = 3 ; m = 0.
D. M = 3 ; m = 1.
Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn 0 < a < b < c < d và hàm số y = f[x]. Biết hàm số y = f'[x] có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f[x] trên [ 0 ; d ] . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. M + m = f[b] + f[a]
B. M + m = f[d] + f[c]
C. M + m = f[0] + f[c]
D. M + m = f[0] + f[a]
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 sin 2 x − cosx + 3 . Tính giá trị của M + m .
A. 57 8
B. Không tồn tại
C. 41 8
D. 6
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x = 1 + sin x + 1 + cos x . Tính giá trị của M - m.
A. 4 2
B. 3 + 2 2
C. 4 + 2 2 - 1
D. 4 + 2 2
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f [ x ] = 2 x - 4 - 6 - x trên [-3;6]. Tổng M+m có giá trị là
A. -12
B. -6
C. 18
D. -4