Ở các lớp dưới, chúng ta đã biết được cách tìm GTLN và GTNN của hàm số thông qua một số bất đẳng thức quen thuộc như Bunhiacopski, Cauchy... Bài hôm nay, chúng ta được học thêm một phương pháp nữa để tìm GTLN và GTNN của hàm số đó là nhờ vào một ứng dụng quan trọng của đạo hàm hàm số.
NỘI DUNG TRẮC NGHIỆM
Cho hàm số $y=f[x]$ xác định trên tập D.
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f[x]$ trên tập D nếu $f[x] \leq M$ với mọi x thuộc D và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f[x_{0}=M$. Kí hiệu $M=\max_{D} f[x]$.
- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f[x]$ trên tập D nếu $f[x] \geq m$ với mọi x thuộc D và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f[x_{0}=m$. Kí hiệu $m=\min_{D} f[x]$.
2. Cách tính GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn
Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn
- Tìm các điểm $x_{1}, x_{2},...,x_{n}$ trên khoảng [a,b] tại đó $f'[x]=0$ hoặc $f'[x]$ không xác định.
- Tính $f[a], f[x_{1}], f[x_{2}],..., f[x_{n}],f[b]$.
- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có $M=\max_{[a,b]}f[x], m=\min_{[a,b]}f[x]$.
Tổng quát: Muốn tìm GTLN và GTNN của một hàm số trên TXĐ.
- Bước 1: Tìm TXĐ
- Bước 2: Giải phương trình $f'[x]=0$
- Bước 3: Lập bảng biến thiên
- Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên đưa ra kết luận.
Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $$y=x-5+\frac{1}{x}$$ trên khoảng $[0,+\infty]$.
Giải: TXĐ $D=[0,+\infty]$.
Ta có $y'=1-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}=0\Leftrightarrow x=1$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng $[0,+\infty]$, hàm số đạt GTNN là -3 khi x=1 và không tồn tại giá trị lớn nhất của f[x] trên khoảng $[0,+\infty]$.
Bài 1: Trang 23, 24 - sgk giải tích 12
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
a] $y=x^{3}-3x^{2}-9x+35$ trên các đoạn $[-4;4]$ và $[0;5]$;
b] $y=x^{4}-3x^{2}+2$ trên các đoạn $[0;3]$ và $[2;5]$;
c] $y=\frac{2-x}{1-x}$ trên các đoạn $[2;4]$ và $[-3;-2]$;
d] $y=\sqrt{5-4x}$ trên đoạn $[-1;1]$.
Bài 2: Trang 24 - sgk giải tích 12
Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Bài 3: Trang 24 - sgk giải tích 12
Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích $48 m^{2}$, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Bài 4: Trang 24 - sgk giải tích 12
Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a] $y=\frac{4}{1+x^{2}}$;
b] $y=4x^{3}-3x^{4}$.
Bài 5: Trang 24 - sgk giải tích 12
Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a] $y=|x|$;
b] $y=x+\frac{4}{x}$. [x>0]
Câu hỏi:
Giá trị nhỏ nhất hàm số \[f[x] = {x^4} – {x^2} + 13\] trên \[\left[ { – 2\,;\,3} \right]\] là phân số tối giản có dạng \[\frac{a}{b}\]. Khi đó \[a + b\] bằng
A. \[53\].
B. \[55\].
C. \[57\].
D. \[59\].
Lời giải
Chọn B
Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\].
Ta có\[f'[x] = 4{x^3} – 2x\]. Khi đó \[f'[x] = 0\] \[ \Leftrightarrow \]\[\left[ \begin{array}{l}x = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left[ {{\rm{TM}}} \right]\\x = 0\,\left[ {{\rm{TM}}} \right]\\x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}[{\rm{TM]}}\end{array} \right.\].
Ta lại có:\[f\left[ { – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] = \frac{{51}}{4}\],\[f\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] = \frac{{51}}{4}\],\[f\left[ 0 \right] = 13\],\[f\left[ { – 2} \right] = 25\],\[f\left[ 3 \right] = 85\] nên giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f\left[ x \right]\] trên đoạn \[\left[ { – 2;3} \right]\]là \[\frac{{51}}{4}\] tại \[x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
Suy ra \[a = 51\] và \[b = 4\]. Vậy \[a + b = 55\].
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Giải chi tiết:
Xét hàm số [fleft[ x right] = {x^4} - 12{x^2} - 4] trên đoạn [left[ {0;9} right]], ta có:
[f'left[ x right] = 4{x^3} - 24x = 4xleft[ {{x^2} - 6} right];f'left[ x right] = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 in left[ {0;9} right]}\{x = sqrt 6 in left[ {0;9} right]}\{x = - sqrt 6 notin left[ {0;9} right]}end{array}} right.]
Và [fleft[ 0 right] = - 4,,,,,fleft[ {sqrt 6 } right] = - 40,,;,,fleft[ 9 right] = 5585].
Vậy [mathop {min }limits_{left[ {0;9} right]} fleft[ x right] = left[ {sqrt 6 } right] = - 40].
Chọn B.
VietJack
Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.
Phương pháp giải:
Cách 1:
+] Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] trên \[\left[ {a;\;b} \right]\] bằng cách:
+] Giải phương trình \[y' = 0\] tìm các nghiệm \[{x_i}.\]
+] Tính các giá trị \[f\left[ a \right],\;f\left[ b \right],\;\;f\left[ {{x_i}} \right]\;\;\left[ {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right].\] Khi đó:
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left[ x \right] = \min \left\{ {f\left[ a \right];\;f\left[ b \right];\;f\left[ {{x_i}} \right]} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left[ x \right] = \max \left\{ {f\left[ a \right];\;f\left[ b \right];\;f\left[ {{x_i}} \right]} \right\}.\]
Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \[\left[ {a;\;b} \right].\]
Giải chi tiết:
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = {x^4} - 10{x^2} + 1\] trên đoạn \[\left[ { - 3;\,\,2} \right]\]
Ta có: \[f'\left[ x \right] = 4{x^3} - 20x\] \[ \Rightarrow f'\left[ x \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow 4{x^3} - 20x = 0\] \[ \Leftrightarrow 4x\left[ {{x^2} - 5} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\, \in \left[ { - 3;\,\,2} \right]\\x = \sqrt 5 \,\, otin \left[ { - 3;\,\,2} \right]\\x = - \sqrt 5 \, \in \left[ { - 3;\,\,2} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left[ { - 3} \right] = 8\\f\left[ { - \sqrt 5 } \right] = - 24\\f\left[ 0 \right] = 1\\f\left[ 2 \right] = - 23\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ { - 3;\,\,2} \right]} f\left[ x \right] = f\left[ { - 5} \right] = - 24.\]
Chọn C.
Phương pháp giải:
Cách 1:
+] Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] trên \[\left[ {a;\;b} \right]\] bằng cách:
+] Giải phương trình \[y' = 0\] tìm các nghiệm \[{x_i}.\]
+] Tính các giá trị \[f\left[ a \right],\;f\left[ b \right],\;\;f\left[ {{x_i}} \right]\;\;\left[ {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right].\] Khi đó:
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left[ x \right] = \min \left\{ {f\left[ a \right];\;f\left[ b \right];\;f\left[ {{x_i}} \right]} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left[ x \right] = \max \left\{ {f\left[ a \right];\;f\left[ b \right];\;f\left[ {{x_i}} \right]} \right\}.\]
Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \[\left[ {a;\;b} \right].\]
Giải chi tiết:
Ta có: \[f\left[ x \right] = {x^4} - 10{x^2} + 2\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left[ x \right] = 4{x^3} - 20x\\f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 20x = 0\\ \Leftrightarrow 4x\left[ {{x^2} - 5} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\, \in \left[ { - 1;\,\,2} \right]\\x = - \sqrt 5 \,\, otin \left[ { - 1;\,\,2} \right]\\x = \sqrt 5 \,\, otin \left[ { - 1;\,\,2} \right]\end{array} \right.\end{array}\]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}f\left[ { - 1} \right] = - 7\\f\left[ 0 \right] = 2\\f\left[ 2 \right] = - 22\end{array} \right.\].
Vậy \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\,\,2} \right]} f\left[ x \right] = - 22.\]
Chọn C.