Hai đường thẳng tiếp xúc là gì

1. Các kiến thức cần nhớ

a. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Trường hợp 1:  Hai đường tròn $\left[ {O;R} \right]$ và $\left[ {O';r} \right]$ với $\left[ {R > r} \right]$ cắt nhau

Khi đó $\left[ O \right]$ và $\left[ {O'} \right]$ có hai điểm chung và đường nối tâm là đường trung trực của đoạn $AB$.

Hệ thức liên hệ $R - r < OO' < R + r$

Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc

+] Hai đường tròn $\left[ {O;R} \right]$ và $\left[ {O';r} \right]$ với $\left[ {R > r} \right]$ tiếp xúc trong tại $A$.

Khi đó $A$ nằm trên đường nối tâm và $OO' = R - r$.

+] Hai đường tròn  $\left[ {O;R} \right]$ và $\left[ {O';r} \right]$ với $\left[ {R > r} \right]$ tiếp xúc ngoài tại $A$.

Khi đó $A$ nằm trên đường nối tâm và $OO' = R + r$.

Trường hợp 3: Hai đường tròn không giao nhau

+] Hai đường tròn $\left[ {O;R} \right]$ và $\left[ {O';r} \right]$$\left[ {R > r} \right]$ ở ngoài nhau.

Ta có $OO' > R + r$

+] Hai đường tròn đựng nhau

Ta có $OO' < R - r$

+] Hai đường tròn đồng tâm

Ta có $OO' = 0$.

Ta có bảng sau

Sự liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm $d$ và các bán kính $R$ và $r$

b. Tính chất đường nối tâm

Đường nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn. Từ đó suy ra :

- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Các bài toán có hai đường tròn tiếp xúc với nhau

Phương pháp:

Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc:

+ Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm

+] Hệ thức \[d = R + r\]

Khi làm có thể vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn [nếu cần]

Dạng 2: Các bài toán có hai đường tròn cắt nhau

Phương pháp:

Nối dây chung của hai đường tròn rồi dùng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn

Hệ thức liên hệ : $R-r < d < R + r$

Dạng 3: Các bài toán tính độ dài, diện tích

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đường nối tâm, tính chất tiếp tuyến.

Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

1. Các kiến thức cần nhớ

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn $\left[ {O;R} \right]$ và một đường thẳng $\Delta $ bất kì. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $O$ của đường tròn đến đường thẳng đó.

Trường hợp 1: Đường thẳng $\Delta $ và đường tròn $\left[ {O;R} \right]$ cắt nhau.

Khi đó, đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung và khoảng cách $d = OH < R$

Trường hợp 2: Đường thẳng $\Delta $ và đường tròn $\left[ {O;R} \right]$ tiếp xúc với nhau.

Khi đó, đường thẳng và đường tròn có một điểm chung và khoảng cách $d = OB = R$.

Đường thẳng $\Delta $ được gọi là tiếp tuyến của đường tròn và điểm $B$ là tiếp điểm.

Trường hợp 3: Đường thẳng $\Delta $ và đường tròn $\left[ {O;R} \right]$ không giao nhau.

Khi đó, đường thẳng và đường tròn không có điểm chung và khoảng cách $d = OH > R$

Từ đó ta có bảng vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1:  Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Phương pháp:

Dựa vào bảng vị trí tương đối :

Dạng 2: Bài toán độ dài dựa vào tính chất tiếp tuyến.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tiếp tuyến và định lý Pytago

Dạng 3: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đường phân giác và các đường thẳng song song cách đều để tìm tập hợp điểm.

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Sự tiếp xúc của hai đường cong, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Sự tiếp xúc của hai đường cong: Sự tiếp xúc của hai đường cong. Phương pháp giải. Cho hai đường cong [C]: y = f[x] và [O’]; y = g[x]. Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với f[x] = g[x] nhau là hệ phương trình có nghiệm. Nghiệm x = x, của hệ trên là hoành độ của tiếp điểm của hai đường cong đã cho. Hệ trên có bao nhiêu nghiệm thì hai đường cong [C] và [C] tiếp xúc với nhau tại bấy nhiêu điểm. Bài tập 1: Đồ thị hàm số y = x + x+ 1 tiếp xúc với đường thẳng nào dưới đây? Áp dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong [C]: y = f[x] và [C]: y = g[x] là hệ phương trình [f[x] = g[x] có nghiệm. lf'[x] = g'[x]. Xét phương án A. y = x + 1. Vậy đường thẳng y = x + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho. Bài tập 2. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = -2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = t là. Đường thẳng y = -2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y khi và chỉ khi hệ phương trình sau có. Vậy m{-1; 7} thì đường thẳng d tiếp xúc với [C]. Bài tập 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị [C] của hàm số y = x – 4mx + 7x – 3m tiếp xúc với parabol [P]: y = x – x + 1. Tổng giá trị các phần tử của S bằng. Để [C] tiếp xúc với [P] thì hệ phương trình sau có nghiệm. Vậy nên tổng các phần tử trong S bằng. Bài tập 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = [m + 2]x + 2x + 1 tiếp xúc với đường thẳng y = 1. Tổng giá trị các phần tử của S bằng. Vậy tập hợp các giá trị của tham số thực để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng y = 1 là S = 0,6 nên tổng các phần tử trong S bằng 20.

Bài tập 5. Biết đồ thị của hàm số [C]: y = x + ax + bx + c[a,b,ce IR], tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa độ và cắt đường thẳng x = 1 tại điểm có tung độ bằng 3. Tổng a + 2b + 3c bằng. Vì [C] tiếp xúc với Ox tại gốc tọa độ nên x = 0 là nghiệm của hệ phương trình. Mặt khác [C] đi qua điểm A[1; 3] nên a + b + c + 1 = 3 = a = 2. Vậy a + 2b + 3 = 2. Bài tập 6. Họ parabol [P]: y= x − 2[x – 3]x + m – 2[m + 0] luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định khi m thay đổi. Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây? Xét đường thẳng d: y = x – 2 thì hệ phương trình m[x – 1] + 6x – 2 = 6x – 2 luôn có nghiệm x = 1 với mọi m. Vậy luôn tiếp xúc với đường thẳng d: y = x – 2. Đường thẳng d đi qua điểm B[0; -2]. Nhận xét: Nếu có thể viết lại hàm số [.] theo dạng y= [a + b] + [1+d thì [P.] luôn tiếp xúc với đường y = cx+d.