- \[\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{n}{{{3^n}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\]
Hướng dẫn giải:
- Bước 1: Với \[n = 1\] ta có:
\[VT = {1^2} = 1,{\rm{ }}VP = \frac{{1[1 + 1][2.1 + 1]}}{6} = 1 \Rightarrow VT = VP\]
\[ \Rightarrow \] đẳng thức cho đúng với \[n = 1\].
Bước 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với \[n = k \ge 1\], tức là:
\[{1^2} + {2^2} + ... + {[k - 1]^2} + {k^2} = \frac{{k[k + 1][2k + 1]}}{6}\] [1]
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \[n = k + 1\], tức là cần chứng minh:
\[{1^2} + {2^2} + ... + {[k - 1]^2} + {k^2} + {[k + 1]^2} = \frac{{[k + 1][k + 1][2k + 3]}}{6}\] [2].
Thật vây:
\[VT[2] = \left[ {{1^2} + {2^2} + ... + {k^2}} \right] + {[k + 1]2}\]\[\mathop = \limits{{\rm{do }}[1]} \frac{{k[k + 1][2k + 1]}}{6} + {[k + 1]^2}\]
\[ = [k + 1]\left[ {\frac{{2{k^2} + k}}{6} + k + 1} \right] = \frac{{[k + 1][2{k^2} + 7k + 6]}}{6}\]
\[ = \frac{{[k + 1][k + 2][2k + 3]}}{6} = VP[2]\]
\[ \Rightarrow [2]\] đúng \[ \Rightarrow \]đẳng thức cho đúng với mọi \[n \ge 1\].
- * Với \[n = 1\] ta có \[VT = 1 = VP \Rightarrow \] đẳng thức cho đúng với \[n = 1\]
* Giả sử đẳng thức cho đúng với \[n = k \ge 1\], tức là:\[\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}}\] [1]
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \[n = k + 1\], tức là cần chứng minh
\[\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}}\] [2].
Thật vậy:\[VT[2] = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = VP[2]\]
\[ \Rightarrow [2]\] đúng \[ \Rightarrow \] đẳng thức cho đúng.
Ví dụ 2:
Cho dãy số \[[{u_n}]:\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}} + \sqrt {{u_{n - 1}}} {\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\]. Chứng minh rằng dãy \[[{u_n}]\] là dãy tăng và bị chặn.
Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh dãy \[[{u_n}]\] là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp
* Dễ thấy: \[{u_1} < {u_2} < {u_3}\].
* Giả sử \[{u_{k - 1}} < {u_k}{\rm{ }}\forall k \ge 2\], ta chứng minh \[{u_{k + 1}} < {u_k}\]. Thật vậy:
\[{u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k}} + \sqrt {{u_{k - 1}}} > \sqrt {{u_{k - 1}}} + \sqrt {{u_{k - 2}}} = {u_k}\]
Vậy \[[{u_n}]\] là dãy tăng.
Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được \[{u_n} < 4{\rm{ }}\forall n\], hơn nữa \[{u_n} > 0\]
Nên dãy \[[{u_n}]\] là dãy bị chặn.
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng :
- Nếu phương trình \[{x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\] có ba nghiệm lập thành CSC thì \[9ab = 2{a^3} + 27c\]
- Nếu phương trình \[{x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\] có ba nghiệm lập thành CSN thì \[c[c{a^3} - {b^3}] = 0\]
Hướng dẫn:
- Giả sử phương trình có ba nghiệm \[{x_1},{x_2},{x_3}\] lập thành CSC
Suy ra: \[{x_1} + {x_3} = 2{x_2}\] [1]
Mặt khác: \[{x^3} - a{x^2} + bx - c = [x - {x_1}][x - {x_2}][x - {x_3}]\]
\[ = {x^3} - [{x_1} + {x_2} + {x_3}]{x^2} + [{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1}]x - {x_1}{x_2}{x_3}\]
Suy ra \[{x_1} + {x_2} + {x_3} = a\] [2]
Từ [1] và [2], ta suy ra \[3{x_2} = a\] hay \[{x_2} = \frac{a}{3}\]
Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm \[{x_2} = \frac{a}{3}\], tức là:
\[{\left[ {\frac{a}{3}} \right]^3} - a{\left[ {\frac{a}{3}} \right]^2} + b\left[ {\frac{a}{3}} \right] - c = 0 \Leftrightarrow - \frac{{2{a^3}}}{{27}} + \frac{{ba}}{3} - c = 0 \Leftrightarrow 9ab = 2{a^3} + 27c\]
Ta có đpcm.
- Giả sử ba nghiệm \[{x_1},{x_2},{x_3}\] lập thành CSN, suy ra \[{x_1}{x_3} = x_2^2\]
Theo phân tích bài trên, ta có: \[{x_1}{x_2}{x_3} = c \Rightarrow x_2^3 = c \Rightarrow {x_2} = \sqrt[3]{c}\]
Hay phương trình đã cho có nghiệm \[{x_2} = \sqrt[3]{c}\], tức là:
\[{\left[ {\sqrt[3]{c}} \right]^3} - a{\left[ {\sqrt[3]{c}} \right]^2} + b\sqrt[3]{c} - c = 0 \Leftrightarrow b\sqrt[3]{c} = a\sqrt[3]{{{c^2}}} \Leftrightarrow c[c{a^3} - {b^3}] = 0\]
Bài toán được chứng minh.
Ví dụ 4:
- Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng \[\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\]
\[\tan \frac{C}{2}\] lập thành cấp số cộng \[ \Leftrightarrow \cos A;\cos B;\cos C\] lập thành cấp số cộng.
- Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng \[\cot \frac{A}{2};\cot \frac{B}{2};\cot \frac{C}{2}\] lập thành cấp số cộng \[ \Leftrightarrow \sin A;\sin B;\sin C\] lập thành cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
- Ta có: \[\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\tan \frac{C}{2}\] lập thành cấp số cộng
\[ \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2} = 2\tan \frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin [\frac{A}{2} + \frac{C}{2}]}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}\]
\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2}\left[ {\cos \left[ {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right] + \cos \left[ {\frac{A}{2} - \frac{C}{2}} \right]} \right]\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos B}}{2} = \frac{{1 - \cos B}}{2} + \frac{1}{2}\left[ {\cos A + \cos C} \right]\]
\[ \Leftrightarrow \cos B = \frac{{\cos A + \cos C}}{2} \Leftrightarrow \cos A,\cos B,\cos C\] lập thành CSC.
- Ta có: \[\cot \frac{A}{2} - \cot \frac{B}{2} = \cot \frac{B}{2} - \cot \frac{C}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} - \cos \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}}} = \frac{{\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} - \cos \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}\]
\[ \Leftrightarrow \sin \frac{{B - A}}{2}\cos \frac{{B + A}}{2} = \sin \frac{{C - B}}{2}.\cos \frac{{C + B}}{2}\]