Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Đầu tư và Dịch vụ Giáo dục MST: 0102183602 do Sở kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội cấp ngày 13 tháng 03 năm 2007 Địa chỉ: - Văn phòng Hà Nội: Tầng 4, Tòa nhà 25T2, Đường Nguyễn Thị Thập, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Hà Nội. - Văn phòng TP.HCM: 13M đường số 14 khu đô thị Miếu Nổi, Phường 3, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh Hotline: 19006933 – Email: hotro@hocmai.vn Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Giang Linh
Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 597/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/12/2016.
Dãy số \[u_n\] là một cấp số cộng nếu \[u_{n+1}=u_n+ d\] với mọi \[n\in {\mathbb N}^*\], \[d\] là hằng số.
\[d = u_{n+1}-u_n\] được gọi là công sai.
* \[d = 0\]: CSC là một dãy số không đổi.
Ví dụ:
Dãy số \[3;6;9;12;15\] là một cấp số cộng vì:
\[\begin{array}{l}6 = 3 + 3\\9 = 6 + 3\\12 = 9 + 3\\15 = 12 + 3\end{array}\]
Đây là CSC có công sai \[d = 3\] và số hạng đầu \[{u_1} = 3\].
2. Số hạng tổng quát
Kí hiệu: \[u_n= u_1+ [n – 1]d, [n ≥ 2]\]. [ n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 1]
Như vậy công sai còn có thể tính bởi công thức: \[d = \dfrac{u_{n}-u_{1}}{n-1}\].
Ví dụ:
Cho CSC \[\left[ {{u_n}} \right]\] biết \[{u_1} = - 1,d = 3\]. Tìm \[{u_{20}}\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}{u_{20}} = {u_1} + \left[ {20 - 1} \right]d\\\,\,\,\,\,\,\, = {u_1} + 19d\\\,\,\,\,\,\,\, = - 1 + 19.3\\\,\,\,\,\,\,\, = 56\end{array}\]
3. Tính chất
\[ u_{k}=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\] với \[k ≥ 2\] hay \[u_{k+1}+u_{k-1}= 2u_k\]
Ví dụ:
Cho ba số \[3;x;9\] theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm \[x.\]
Ta có: \[x = \dfrac{{3 + 9}}{2} = 6\].
Vậy \[x = 6\].
4. Tổng \[n\] số hạng đầu
+] Thông qua số hạng đầu, cuối và số số hạng: \[S_n= \dfrac{n[u_{1}+u_{n}]}{2}\], với \[n\in {\mathbb N}^*\]
+] Thông qua số hạng đầu, số số hạng và công sai:
\[{S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left[ {n - 1} \right]}}{2}d\]
\[{S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left[ {n - 1} \right]d} \right]}}{2}\]
Ví dụ:
Cho CSC \[\left[ {{u_n}} \right]\] thỏa mãn \[{u_1} = - 1,d = 3\]. Tính \[{S_{20}}.\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}{S_{20}} = 20{u_1} + \dfrac{{20.\left[ {20 - 1} \right]}}{2}.d\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 20.\left[ { - 1} \right] + \dfrac{{20.19}}{2}.3\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 550\end{array}\]
5. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[d = {u_n} - {u_{n - 1}},\forall n \ge 2\].
- Bước 2: Kết luận:
+ Nếu \[d\] là số không đổi thì dãy \[\left[ {{u_n}} \right]\] là cấp số cộng.
+ Nếu \[d\] thay đổi theo \[n\] thì dãy \[\left[ {{u_n}} \right]\] không là cấp số cộng.
Dạng 2: Tìm công sai của cấp số cộng.
Phương pháp:
Sử dụng các tính chất của cấp số cộng, biến đổi để tính công sai của cấp số cộng.
Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \[{u_n} = {u_1} + \left[ {n - 1} \right]d\]
Dạng 4: Tính tổng \[n\] số hạng đầu tiên của dãy.
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{\left[ {{u_1} + {u_n}} \right].n}}{2} = \dfrac{{\left[ {2{u_1} + \left[ {n - 1} \right]d} \right].n}}{2}\]
Dạng 5: Tìm cấp số cộng
Phương pháp chung:
- Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu \[{u_1}\], công sai \[d\].
- Tìm công thức cho số hạng tổng quát \[{u_n} = {u_1} + \left[ {n - 1} \right]d\].
6. Bài tập về cấp số cộng
Bài 1. Cho dãy số $\dfrac{1}{2};0; - \dfrac{1}{2}; - 1; - \dfrac{3}{2}$ là cấp số cộng với:
- Số hạng đầu tiên là $\dfrac{1}{2}$, công sai là $\dfrac{1}{2}.$
- Số hạng đầu tiên là $\dfrac{1}{2}$, công sai là $ - \dfrac{1}{2}.$
- Số hạng đầu tiên là $0$, công sai là $\dfrac{1}{2}.$
- Số hạng đầu tiên là $0$, công sai là $ - \dfrac{1}{2}.$
Lời giải: Ta có $\dfrac{1}{2};0; - \dfrac{1}{2}; - 1; - \dfrac{3}{2}$ là cấp số cộng \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\{u_2} - {u_1} = - \dfrac{1}{2} = d\end{array} \right.\]
Chọn đáp án B.
Bài 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?
- Dãy số \[\left[ {{a_n}} \right]\] với \[{a_n} = 3n - 5\]
- Dãy số \[\left[ {{b_n}} \right]\] với \[{b_n} = \sqrt 3 - \sqrt 5 n\]
- Dãy số \[\left[ {{c_n}} \right]\] với \[{c_n} = {n^2} - n\]
- Dãy số \[\left[ {{d_n}} \right]\] với \[{d_n} = 2017\cot \dfrac{{\left[ {4n - 1} \right]\pi }}{2} + 2018\]
Lời giải: Đáp án A ta có \[{a_{n + 1}} - {a_n} = 3\left[ {n + 1} \right] - 5 - \left[ {3n - 5} \right]\] \[ = 3n + 3 - 5 - 3n + 5 = 3 \]
\[\Rightarrow \left[ {{a_n}} \right]\] là 1 CSC có công sai $d = 3.$
Đáp án B ta có \[{b_{n + 1}} - {b_n} = \left[ {\sqrt 3 - \sqrt 5 \left[ {n + 1} \right]} \right] - \left[ {\sqrt 3 - \sqrt 5 n} \right] \] \[= \sqrt 3 - \sqrt 5 n - \sqrt 5 - \sqrt 3 + \sqrt 5 n = - \sqrt 5 \]
\[\Rightarrow \left[ {{b_n}} \right]\] là 1 CSC có công sai \[d = - \sqrt 5 \]
Đáp án C ta có \[{c_{n + 1}} - {c_n} = {\left[ {n + 1} \right]^2} - \left[ {n + 1} \right] - {n^2} + n = {n^2} + 2n + 1 - n - 1 - {n^2} + n = 2n \Rightarrow \left[ {{c_n}} \right]\] không là CSC.
Đáp án D ta có \[\cot \dfrac{{\left[ {4n - 1} \right]\pi }}{2} = 0\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {d_n} = 2018\,\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {d_{n + 1}} - {d_n} = 0 \Rightarrow \left[ {{d_n}} \right]\] là CSC có công sai $d = 0.$
Chọn đáp án C.
Bài 3. Cho cấp số cộng \[\left[ {{u_n}} \right]\] xác định bởi \[{u_3} = - 2\] và \[{u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\,\,\forall n \in N^*.\] Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
- \[{u_n} = 3n - 11\]
- \[{u_n} = 3n - 8\]
- \[{u_n} = 2n - 8\]
- \[{u_n} = n - 5\]
Lời giải: \[{u_{n + 1}} = {u_n} + 3 \Rightarrow \left[ {{u_n}} \right]\] là CSC có công sai $d = 3.$
\[{u_3} = {u_1} + 2d\] \[ \Rightarrow {u_1} = {u_3} - 2d = - 2 - 2.3 = - 8\]
Vậy số hạng tổng quát của CSC trên là \[{u_n} = {u_1} + \left[ {n - 1} \right]d = - 8 + \left[ {n - 1} \right].3 = 3n - 11.\]
Chọn đáp án A.
Bài 4. Cho cấp số cộng \[\left[ {{x_n}} \right]\] có \[{S_n} = 3{n^2} - 2n\]. Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó.
- \[{u_1} = 2;d = 7\]
- \[{u_1} = 1,d = 6\]
- \[{u_1} = 1;d = - 6\]
- \[{u_1} = 2;d = 6\]
Lời giải: Ta có \[{S_1} = 3.1 - 2.1 = 1 = {u_1},\] \[{S_2} = {3.2^2} - 2.2 = 8 = {u_1} + {u_2} \] \[\Rightarrow {u_2} = 7 \Rightarrow d = {u_1} - {u_2} = 6\]
Chọn đáp án B.
Bài 5. Cho cấp số cộng \[\left[ {{u_n}} \right]\] có \[{u_2} = 2017\] và \[{u_5} = 1945.\] Tính \[{u_{2018}}\] .
- \[{u_{2018}} = - 46367\]
- \[{u_{2018}} = 50449\]
- \[{u_{2018}} = - 46391\]
- \[{u_{2018}} = 50473\]
Lời giải: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 2017\\{u_5} = 1945\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d = 2017\\{u_1} + 4d = 1945\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2041\\d = - 24\end{array} \right. \\ \Rightarrow {u_{2018}} = {u_1} + 2017d \\= 2041 + 2017\left[ { - 24} \right] = - 46367\]
Chọn đáp án A.
Bài 6. Cho cấp số cộng $6;x; - 2;y$. Khẳng định nào sau đây đúng ?
- $x = 2,y = 5$
- $x = 4,y = 6$
- $x = 2,y = - 6$
- $x = 4,y = - 6$.
Lời giải: Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}6 - 2 = 2x\\x + y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 6\end{array} \right.\]
Chọn đáp án C.
Bài 7. Cho cấp số cộng \[\left[ {{u_n}} \right]\] với \[\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..\] Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.
- $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
- $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = - 4\end{array} \right.$
- $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
- $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 1\end{array} \right.$
Lời giải: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right. \Rightarrow {u_3},{u_5}\] là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 3\\X = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$
TH1 : \[\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 3\\{u_1} + 4d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\]
TH2 : \[\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 2\\{u_1} + 4d = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\]
Vậy $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$.
Chọn đáp án A.
Bài 8. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện ba số \[\dfrac{1}{{x + y}},\dfrac{1}{{y + z}},\dfrac{1}{{z + x}}\] theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ?
- Ba số \[{x^2},{y^2},{z^2}\] theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
- Ba số \[{y^2},{z^2},{x^2}\] theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
- Ba số \[{y^2},{x^2},{z^2}\] theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
- Ba số \[{z^2},{y^2},{x^2}\] theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Lời giải: Ta có
\[\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{z + x}} = 2\dfrac{1}{{y + z}} \Rightarrow yz + {z^2} + xy + xz + xy + xz + {y^2} + yz = 2\left[ {xz + {x^2} + yz + xy} \right] \Leftrightarrow {z^2} + {y^2} = 2{x^2}\]
Vậy ba số \[{y^2},{x^2},{z^2}\] theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Chọn đáp án C.
Bài 9. Viết sáu số xen giữa $3$ và $24$ để được một cấp số cộng có $8$ số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là :
- $6, 9, 12, 15, 18, 21$
- $21, 18, 15, 12, 9, 6 $
- \[\dfrac{{13}}{2}\], \[10\], \[\dfrac{{27}}{2}\], \[17\], \[\dfrac{{41}}{2}\], \[24\]
- \[\dfrac{{16}}{3}\], \[\dfrac{{23}}{3}\], \[\dfrac{{37}}{3}\], \[\dfrac{{44}}{3}\], \[\dfrac{{58}}{3}\], \[\dfrac{{65}}{3}\]
Lời giải: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_8} = 24 = {u_1} + 7d\end{array} \right. \Rightarrow 24 = 3 + 7d \Rightarrow d = 3 \Rightarrow \] Sáu số hạng cần viết thêm là: $6,9,12,15,18,21$.
Chọn đáp án A.
Bài 10. Nghiệm của phương trình $1 + 7 + 13 + \ldots + x = 280$ là:
- $x = 53$
- $x = 55$
- $x = 57$
- $x = 59$
Lời giải: Ta thấy tổng $1 + 7 + 13 + \ldots + x$ là tổng của cấp số cộng với \[{u_1} = 1,d = 6\].
Giả sử $x$ là số hạng thứ $n$, khi đó \[x = {u_1} + \left[ {n - 1} \right]d = 1 + \left[ {n - 1} \right]6\], và $\begin{array}{l}1 + 7 + 13 + \ldots + x = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left[ {n - 1} \right]d} \right]}}{2} = \dfrac{{n\left[ {2 + \left[ {n - 1} \right].6} \right]}}{2} = 280\\ \Rightarrow 2n + 6n\left[ {n - 1} \right] = 560\\ \Leftrightarrow 6{n^2} - 4n - 560 = 0 \Leftrightarrow n = 10\end{array}$