Các dạng viết phương trình đường thẳng là chủ đề hay, thường xuyên xuất hiện trong bài thi kiểm tra, học kì và để thi tốt nghiệp THPT của BGD&ĐT. Nó chia là hai phần rõ là phương trình đường thẳng lớp 10 và phương trình đường thẳng trong hình học không gian lớp 12. Để học tốt bài này, hãy quan sát thật kĩ phần mục lục dưới đây để có cái nhìn khái quát.
1. Những khái niệm cơ bản về phương trình của đường thẳng
Dưới đây là những kiến thức cơ bản bạn cần phải biết
1.1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng là gì?
Định nghĩa: Nếu 1 vecto $\vec u \ne \vec 0$ bất kì mà có giá của nó trùng hoặc song song với đường thẳng d cho trước thì ta nói $\vec u$ là vecto chỉ phương của d.
Theo định nghĩa trên thì 1 đường thẳng sẽ có vô số vecto chỉ phương [VTCP], tổng quát là: $k\vec u$
1.2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là gì?
Định nghĩa: Nếu 1 vecto $\vec n \ne \vec 0$ bất kì mà có giá của nó vuông góc với đường thẳng d cho trước thì ta nói $\vec n$ là vecto pháp tuyến của d.
Theo định nghĩa trên thì 1 đường thẳng sẽ có vô số vecto pháp tuyến [VTCP], tổng quát là: $k\vec n$
1.3 Mối liên hệ $\vec u$ và $\vec n$
Theo định nghĩa trên, VTPT và VTCP của 1 đường thẳng luôn vuông góc với nhau: [$\widehat {\overrightarrow n ,\overrightarrow u }$] = 900.
2. Mặt phẳng Oxy
2.1 Phương trình tổng quát của đường thẳng
Giả sử đường thẳng d đi qua điểm M[ x0; y0], có vecto pháp tuyến là $\vec n$ = [ a; b] thì pt tổng quát của đường thẳng d:
a[x – x0] + b[y – y0] = 0 ax + by + c = 0 [2.1]
Trong đó c = – ax0 – by0
Từ phương trình [2.1] ta suy ra một số trường hợp đặc biệt:
- Nếu M [ 0; 0] => c = 0 thì ax + by = 0: Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O.
- Nếu a = 0 thì by + c = 0: Đường thẳng d vuông góc với trục Ox [ d ⊥ Ox]
- Nếu b = 0 thì ax + c = 0: Đường thẳng d vuông góc với trục Oy [ d ⊥ Oy]
2.2 Phương trình tham số của đường thẳng
Giả sử đường thẳng d đi qua điểm M[ x0; y0], có vecto chỉ phương là $\vec u$ = [ A; B] thì phương trình dạng tham số d:
\[\left\{ \begin{array}{l} x = {x_0} + At\\ x = {x_0} + Bt \end{array} \right.\]
Trong đó
- t là tham số; t ∈ R
- A ≠ 0; B ≠ 0
2.3 Phương trình chính tắc của đường thẳng
Giả sử đường thẳng d đi qua điểm M[ x0; y0], có vecto chỉ phương là $\vec u$ = [ A; B] thì phương trình dạng chính tắc d: $\frac{{x – {x_0}}}{A} = \frac{{y – {y_0}}}{B}$
Trong đó: A ≠ 0; B ≠ 0
2.4 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
Một đường thẳng d đi qua hai điểm P[ x0; 0] và Q[ 0; y0], khi này phương trình có dạng $\frac{x}{{{x_0}}} + \frac{y}{{{y_0}}} = 1$
Trong đó: x0 ≠ 0; y0 ≠ 0
2.5 Hệ số góc của đường thẳng
Một đường thẳng d:
- Nếu biết được vecto pháp tuyến $\vec n$ = [ a; b] thì hệ số góc: α = $ – \frac{a}{b}$
- Nếu biết được vecto chỉ phương $\vec u$ = [ A; B] thì hệ số góc: α = $ \frac{B}{A}$
2.6 Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
Giả sử trong không gian Oxy có hai đường thẳng được mô tả bằng phương trình [d1]: a1x + b1y + c1 = 0; và [d2]: a2x + b2y + c =0
- d1 cắt d2 ⇔ \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| \ne 0\]
- d1 // d2 ⇔ \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| = 0\] và \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}\end{array}} \right| \ne 0\], hoặc \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| = 0\] và \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}&{{a_1}}\\{{c_2}}&{{a_2}}\end{array}} \right| \ne 0\]
- d1 ⊥ d2 ⇔ \[{d_1} \equiv {d_2}\] khi và chỉ khi \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}&{{a_1}}\\{{c_2}}&{{a_2}}\end{array}} \right| = 0\]
Với trường hợp a2.b2.c2 ≠ 0 khi đó
- Nếu $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}$ thì hai đường thẳng cắt nhau.
- Nếu $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$ thì d1 // d2.
- Nếu $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$ thì d1 ≡ d2.
- Nếu a1a2+ b1b2 = 0 thì d1 ⊥ d2.
2.7 Góc giữa 2 đường thẳng
Giả sử hai đường thẳng có phương trình lần lượt là [d1]: a1x + b1y + c1 = 0; và [d2]: a2x + b2y + c = 0. Lúc này:
- [d1]: a1x + b1y + c1 = 0 có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{n_1}} $ = [a1; b1]
- [d2]: a2x + b2y + c = 0 có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{n_2}} $ = [a2; b2]
Gọi β là góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2. Khi đó: $\cos \beta = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$
2.8 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Giả sử có một điểm Q[ x0; y0] ∉ d: ax + by + c = 0
Khoảng cách từ Q tới đường thẳng d được xác định theo công thức: $d\left[ {Q,d} \right] = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$
2.9 Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng
Trong không gian tọa độ Oxy, một đường thẳng d có phương trình: ax + by + c = 0
Giả sử hai điểm P[ xP; yP] và Q[ xQ; yQ] thuộc đường thẳng thì: p = axP + byP + c và q = axQ + byQ + c
- Nếu p.q > 0 thì P và Q nằm cùng phía với đường thẳng d.
- Nếu p.q < 0 thì P và Q nằm khác phía so với đường thẳng d.
3. Không gian Oxyz
3.1 Phương trình tham số của đường thẳng
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {x_0} + at}\\ {y = {y_0} + bt}\\ {z = {z_0} + ct} \end{array}} \right.$ với t ∈ R.
3.2 Phương trình chính tắc của đường thẳng
$\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}$ trong đó a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0.
3.3 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Cho đường thẳng d0 đi qua điểm M0[x0;y0;z0] và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_0}} $ = [a;b;c] và đường thẳng d1 đi qua điểm M1[x1;y1;z1] và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} $ = [a1;b1;c1] khi đó
- d0 và d1 cùng nằm trong một mặt phẳng ⇔ $\left[ {\overrightarrow {{u_0}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right].\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = 0$
- d0 và d1 cắt nhau $\left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow {{u_0}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right].\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = 0\\ \left[ {\overrightarrow {{u_0}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.$
- d0 // d1 ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow {{u_0}} .\overrightarrow {{M_0}{M_1}} } \right] \ne 0\\ \left[ {\overrightarrow {{u_0}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \overrightarrow 0 \end{array} \right.$
- d0 ≡ d1 ⇔ $\left[ {\overrightarrow {{u_0}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left[ {\overrightarrow {{u_0}} .\overrightarrow {{M_0}{M_1}} } \right] = \overrightarrow 0 $
- d0 và d1 chéo nhau ⇔$\left[ {\overrightarrow {{u_0}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right].\left[ {\overrightarrow {{u_0}} .\overrightarrow {{M_0}{M_1}} } \right] \ne \overrightarrow 0 $
3.4 Khoảng cách
a] Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Cho điểm M1[x1;y1;z1] tới đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u $:
Cách 1: Dựa vào kiến thức hình học không gian lớp 11
- Viết phương trình mặt phẳng [Q] qua M1 và vuông góc với Δ.
- Tìm tọa độ giao điểm H của Δ và mặt phẳng [Q].
- d[M1,Δ] = M1H
Cách 2: Dựa vào kiến thức hình học không gian tọa độ lớp 12
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng d[N; Δ] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$
b] Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
– Cho đường thẳng Δ0 đi qua điểm M0[x0;y0;z0] và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u $0 = [a;b;c] và đường thẳng Δ1 đi qua điểm M1[x1;y1;z1] và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u $1 = [a1;b1;c1].
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng, ta có hai cách:
Cách 1
- Viết phương trình mặt phẳng [Q] chứa [Δ] và song song với [Δ1].
- Tính khoảng cách từ M0M1 tới mặt phẳng [Q].
- d[Δ,Δ1] = d[M1,Q]
Cách 2
– Sử dụng công thức: d[Δ,Δ1] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_0}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right].\overrightarrow {{M_0}{M_1}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_0}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right]} \right|}}$