- LG a
- LG b
- LG c
Cho tam giác \[ABC\] có \[AB=c, BC=a, CA=b.\] Đặt
\[\overrightarrow u = [\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} ]\overrightarrow {CA} + [\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} ]\overrightarrow {AB}\]\[ + [\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} ]\overrightarrow {BC} .\]
Chứng minh rằng
LG a
\[\overrightarrow u = - abc\left[ {\cos B\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} + \cos C\dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \cos A\dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}} \right];\]
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\begin{array}{l}\overrightarrow u = ca.\cos [{180^0} - B].\overrightarrow {CA} + ab.\cos [{180^0} - C].\overrightarrow {AB} + bc.\cos [{180^0} - A].\overrightarrow {BC} \\ = - ca.\cos B.\overrightarrow {CA} - ab.\cos C.\overrightarrow {AB} - bc.\cos A.\overrightarrow {BC} \\ = - abc\left[ {\cos B\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} + \cos C\dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \cos A\dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}} \right].\end{array}\]
LG b
Nếu ABC là tam giác đều thì \[\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \];
Lời giải chi tiết:
Nếu tam giác \[ABC\] đều thì \[a=b=c,\] \[\cos A=\cos B=\cos C,\] từ đó suy ra \[\overrightarrow u = - {a^2}.\cos A.[\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ]\]\[ = \overrightarrow 0 .\]
LG c
Nếu \[\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \] thì ABC là tam giác đều.
Lời giải chi tiết:
Nhân vô hướng vec tơ \[\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \] lần lượt với \[\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} , \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} , \dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}\], ta có:\[\overrightarrow u .\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} = 0\], suy ra \[\cos B - 2\cos C.\cos A = 0\].
Tương tự ta có \[\cos C - 2\cos A.\cos B = 0 ;\]\[ \cos A - 2\cos B.\cos C = 0\].
Rút \[\cos B\] từ đẳng thức đầu và thay vào đẳng thức thứ hai, ta có \[\cos C - 4{\cos ^2}A.\cos C = 0\] mà \[\cos C \ne 0\] [ vì nếu \[\cos C = 0\] thì \[\cos B = 0\], \[\widehat B = \widehat C = {90^0}\], vô lí] nên \[{\cos ^2}A = \dfrac{1}{4}\] hay \[\cos A = \pm \dfrac{1}{2}\]. Vậy \[\widehat A = {60^0}\], hoặc \[\widehat A = {120^0}\].
Tương tự như vậy, góc \[C\] hoặc bằng \[60^0\]hoặc bằng \[120^0\]. Vì tổng ba góc của tam giác bằng \[180^0\], nên chỉ có thể có \[\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}\]. Vậy \[ABC\] là tam giác đều.