Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] có trực tâm \[H\] và tâm đường tròn ngoại tiếp \[O\]. Chứng minh rằng
a] \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \];
b] \[\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \].
Lời giải chi tiết
a] Gọi \[B\] là điểm đối xứng với \[B\] qua \[O\], ta có \[B'C \bot BC\]. Vì \[H\] là trực tâm tam giác \[ABC\] nên \[AH \bot BC\]. Vậy \[AH//BC.\]
Chứng minh tương tự ta có \[CH//BA.\]
Vậy \[ABCH\] là hình bình hành. Suy ra \[\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {B'C} \]. Gọi \[D\] là trung điểm của \[BC\] thì \[OD\] là đường trung bình của tam giác \[BBC\] nên \[\overrightarrow {B'C} = 2\overrightarrow {OD} \]. Vậy \[\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OD} \].
Từ đó, ta có
\[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HA}\]
\[ = \overrightarrow {OH} - \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {OH} - 2\overrightarrow {OD}\]
\[ = \overrightarrow {OH} - [\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} ].\]
Suy ra \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\]
b] Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì
\[\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 3\overrightarrow {HG}\]
\[ = 3\overrightarrow {HO} + 3\overrightarrow {OG} \]
\[= 3\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} .\]
Kết hợp với kết quả của câu a], ta có
\[\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 3\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OH} \]
\[= 2\overrightarrow {HO} .\]