Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12:
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a] y = 4 + 3x – x2
b]
c] y = x4 - 2x2 + 3
d] y = -x3 + x2 – 5
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f[x].
Bước 1: Tìm tập xác định .
Bước 2: Tính đạo hàm y’. Tìm các giá trị của x để f’[x] = 0 hoặc f’[x] không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các giá trị của x ở trên theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Lưu ý: Dấu của f’[x] trong một khoảng trên bảng biến thiên chính là dấu của f’[x] tại một điểm x0 bất kì trong khoảng đó. Do đó, ta chỉ cần lấy một điểm x0 bất kì trong khoảng đó rồi xét xem f’[x0] dương hay âm.
Bước 4: Kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
a] Tập xác định : D = R
y' = 3 – 2x
y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x =
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng [-∞; 3/2] và nghịch biến trong khoảng [3/2 ; + ∞].
b] Tập xác định : D = R
y' = x2 + 6x - 7
y' = 0 ⇔ x = -7 hoặc x = 1
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng [-∞ ; -7] và [1 ; +∞]; nghịch biến trong khoảng [-7; 1].
c] Tập xác định: D = R
y'= 4x3 – 4x.
y' = 0 ⇔ 4x3 – 4x = 0 ⇔ 4x.[x – 1][x + 1] = 0 ⇔
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng [-∞ ; -1] và [0 ; 1]; đồng biến trong các khoảng [-1 ; 0] và [1; +∞].
d] Tập xác định: D = R
y'= -3x2 + 2x
y' = 0 ⇔ -3x2 + 2x = 0 ⇔ x.[-3x + 2] = 0 ⇔
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng [-∞ ; 0] và [2/3 ; + ∞], đồng biến trong khoảng [0 ; 2/3].
- Giải Toán 12: Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
b] \[y=\dfrac{1}{3}x^3+3x^2-7x-2\]
a] \[y=4+3x-x^2\]
Hàm số xác định với mọi \[x∈ℝ\]. Ta có:
\[y'=3-2x\ ;y'=0\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\]
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ -\infty ;\dfrac{3}{2} \right]\], nghịch biến trên khoảng \[\left[ \dfrac{3}{2};+\infty \right]\].
b] \[y=\dfrac{1}{3}x^3+3x^2-7x-2\]
Hàm số xác định với mọi \[x∈ℝ\] . Ta có:
\[y'={{x}^{2}}+6x-7\,\,;\,y'=0\,\Rightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-7 \\ \end{align} \right.\]
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \[[-∞;-7]\] và \[ [1;+∞]\], nghịch biến trên khoảng \[[-7;1]\].
c] \[y=x^4-2x^2+3\]
Hàm số xác định với mọi \[x∈ℝ\]. Ta có:
\[y'=4{{x}^{3}}-4x\,\,;\,y'=0\,\Rightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right.\]
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \[[-1;0]\] và \[ [1;+∞]\], nghịch biến trên các khoảng \[[-\infty;-1]\] và \[[0;1]\].
d] \[y=-x^3+x^2-5\]
Hàm số xác định với mọi \[x∈ℝ\]. Ta có:
\[y'=-3{{x}^{2}}+2x\,\,;\,y'=0\,\Rightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\dfrac{2}{3} \\ \end{align} \right.\]
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[0;\dfrac{2}{3} \right]\] , nghịch biến trên các khoảng \[[-\infty;0]\] và \[\left[\dfrac{2}{3};+\infty \right]\].