Trong chương trình lớp 10, các bạn học sinh đã được học các kiến thức cơ bản về xét tính chẵn lẻ của hàm số. Dựa vào phần kiến thức này, trong giải tích lớp 11, dạng toán xét tính chẵn lẻ được mở rộng hơn với phần hàm số lượng giác với sin, cos, tan và cot. Vậy xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác là gì? Hãy cùng Cmath tổng lớp các lý thuyết và bài tập chi tiết về chuyên đề này nhé.
Lý thuyết chung về tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Để có thể vận dụng kiến thức thật tốt vào các dạng bài tập khác nhau, Cmath sẽ cùng các bạn học sinh tìm hiểu các lý thuyết chung, để học sinh có thể nắm thật rõ về dạng toán xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác.
Định nghĩa về tính tuần hoàn và chu kì của hàm số lượng giác
Định nghĩa:
Hàm số f[x] có tập xác định sẽ được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T 0, sao cho mọi x D, thỏa mãn điều kiện:
- x + T D
x – T D
- f [ x + T ] = f [x]
Nếu số dương T nhỏ nhất đáp ứng thỏa mãn các tính chất trên, đó được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn.
Do đó, người ta dễ dàng chứng minh được:
- y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T = 2
- y = cosx tuần hoàn với chu kỳ T = 2
- y = tanx tuần hoàn với chu kỳ T =
- y = cotx tuần hoàn với chu kỳ T =
Một số lưu ý:
- Hàm số y = sin[ ax + b ] tuần hoàn với chu kỳ T = 2| a |
- Hàm số y = cos[ ax + b ] tuần hoàn với chu kỳ T = 2| a |
- Hàm số y = tan[ ax + b ] tuần hoàn với chu kỳ T = | a |
- Hàm số y = cot[ ax + b ] tuần hoàn với chu kỳ T = | a |
Trường hợp đặc biệt:
- Hàm số y = asinmx + bcosnx + c [ với m, n Z ] là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2[ m, n ] , trong đó [ m, n] là ước chung lớn nhất
- Hàm số y = atanmx + bcotnx + c [ với m, n Z ] là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = [ m, n ] , trong đó [ m, n] là ước chung lớn nhất
Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Cho hàm số y = f [ x ] được xác định trên tập D:
- Hàm số y = f [ x ] được gọi là hàm số chẵn nếu mọi x D. Khi đó, ta có:
– x D và f[ – x] = f [x]
Đồ thị hàm số chẵn sẽ nhận trục tung Oy làm trục đối xứng
- Hàm số y = f [ x ] được gọi là hàm số lẻ nếu mọi x D. Khi đó, ta có:
– x D và f[ – x] = f [x]
Đồ thị hàm số lẻ sẽ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
- Hàm số y = f[x] được gọi là hàm số không chẵn không lẻ khi
x0 D thỏa mãn điều kiện f [ – x0 ] f[ x0 ]
f [ – x0 ] – f[ x0 ]
hoặc chứng minh: tập xác định của f[ x] không phải tập đối xứng của hàm số.
Phương pháp chung xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số. Khi đó, tao có:
- Nếu D không là tập đối xứng, nghĩa là x D nhưng – x D. Ta kết luận được hàm số f[x] là hàm không chẵn không lẻ
- Nếu D là tập đối xứng, nghĩa là mọi x D thì – x D. Ta tiếp tục thực hiện bước 2.
Bước 2: Xác định hàm số f [ -x]:
- Nếu f [ x ] = f [ – x], với mọi x D thì hàm số f [ x ] là hàm số chẵn
- Nếu – f [ x ] = f [ – x], với mọi x D thì hàm số f [ x ] là hàm số lẻ
Nếu hàm số f [x] không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì đó làm hàm không chẵn không lẻ.
Xét tính chẵn lẻ của một số hàm lượng giác cơ bản
- Hàm số y = sinx là hàm số lẻ với D = R
- Hàm số y = cosx là hàm số lẻ với D = R
- Hàm số y = tanx là hàm số lẻ với D = R \ { 2 + k | k Z }
- Hàm số y = cotx là hàm số lẻ với D = R \ { k | k Z }
Các ví dụ và cách giải về xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác sau đây:
- y = f[x] = 2x + sinx
Tập xác định: D = R
Ta có:
Điều kiện 1: Vì D = R nên x D thì – x D [ 1]
Điều kiện 2:
f [ – x ] = 2[ – x ] + sin[ – x ] = – 2x – sinx = – [ 2x + sinx ] = – f [x] [2]
Từ [1] và [2] => hàm số y = f[x] = 2x + sinx là hàm số lẻ
- y = f[x] = |x|cosx
Tập xác định: D = R
Ta có:
Điều kiện 1: Vì D = R nên x D thì – x D [ 1]
Điều kiện 2:
f [ – x] = | – x|. cos[ -x ] = |x|. cosx = f[x] [2]
Từ [1] và [2] => hàm số y = f[x] = |x|cosx là hàm số chẵn
- y = f[x] = |x|sinx
Tập xác định: D = R
Ta có:
Điều kiện 1: Vì D = R nên x D thì – x D [ 1]
Điều kiện 2:
f [ – x] = | – x|. sin[ -x ] = |x|. – sinx = – f[x] [2]
Từ [1] và [2] => hàm số y = f[x] = |x|sinx là hàm số lẻ
- y = f[x] = sin22x + cos3x
Tập xác định: D = R
Ta có:
Điều kiện 1: Vì D = R nên x D thì – x D [ 1]
Điều kiện 2:
f [ – x] = sin2[ – 2x] + cos[ – 3x] = sin -2x 2 + cos3x = 2x 2 + cos3x = sin22x + cos3x = f[x] [2]
Từ [1] và [2] => hàm số y = f[x] = sin22x + cos3x là hàm số chẵn
- y = f[x] = cosx + sinx
Tập xác định: D = R
Ta có:
Điều kiện 1: Vì D = R nên x D thì – x D Điều kiện 2:
f [ – x] = cos [ -x] + sin [ -x ] = cosx – sinx
– f[x] = – [ cosx + sinx ] = – cosx – sinx
Ta thấy: f[x] f[-x] và f[x] -f[x]
Vậy hàm số y = f[x] = cosx + sinx là hàm không chẵn không lẻ.
- y = f[x] = sin2020x+2019cosx
Ta có: cosx 0 => x 2 + k, với k Z
Vậy, tập xác định D = R \ { 2 + k, với k Z }
Điều kiện 1: Vì D = R nên x D thì – x D [ 1]
Điều kiện 2:
f [ -x] = sin2020 -x+2019cos[ -x] \= sin2020x+2019cosx \= f[x] [2]
Từ [1] và [2] => hàm số y = f[x] = sin2020x+2019cosx là hàm số chẵn
Bài tập vận dụng xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Các ví dụ và cách giải về xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Dưới đây là một số bài tập vận dụng về xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác:
- Cho hàm số f[x] = cot2x và g[x] = cos5x chọn mệnh đề đúng:
- f[x] là hàm số chẵn, g[x] là hàm số chẵn
- f[x] là hàm số lẻ, g[x] là hàm số lẻ
- f[x] là hàm số lẻ, g[x] là hàm số chẵn
- f[x] là hàm số chẵn, g[x] là hàm số lẻ
- Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
- y = sinx
- y = cos2x
- y = cotx
- y = tan3x
- Cho hàm số y= sinxcos2x-3. Khẳng định nào sau đây là đúng
- Hàm số là hàm số lẻ
- Hàm số là hàm số chẵn
- Hàm số không chẵn không lẻ
- Hàm số có tập xác định D = R\{3}
- Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
- y = sin2x + cosx
- y = sinx – sin2x
- y = cot2x. cosx
- y = sinx. cos2x
- Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
- sinx.cos3x
- cotxcos3x+ 4
- cosx + sin2x
- sin3x. cos[ 2x- 2 ]
- Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
- sin3x+1cosx
- sinx+xcos2x +2
- tan22x
- |cot4x|
- Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
- y= sin [ x + 4 ]
- sin3x
- y=3cos[ 2x− 3 ]
- y=3sin[ 2x− 2 ]
- Xét hai mệnh đề:
[I] Hàm số y= f[x] = tanx + cotx là hàm số lẻ
[II] Hàm số y= f[x]= tanx − cotx là hàm số lẻ
Trong các câu trên, câu nào đúng?
A . Chỉ [I] đúng
B . Chỉ [II] đúng
- C. Cả hai đúng
- D. Cả hai sai
- Xét hai mệnh đề:
[I] Hàm số y = f[x] = tanx + cosx là hàm số lẻ
[II] Hàm số y = f[x] = tanx + sinx là hàm số lẻ
Trong các câu trên, câu nào đúng?
- A. Chỉ [I] đúng .
- B. Chỉ [II] đúng .
- C. Cả hai đúng.
- D. Cả hai sai.
- Cho hàm số y = cosx xét trên [ – 2; 2 ]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A. Hàm không chẵn không lẻ
- B. Hàm lẻ
- C. Hàm chẵn
- D. Có đồ thị đối xứng qua trục hoành
Tổng hợp bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Đáp án bài tập:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
B
A
A
D
B
B
C
D
C
Kết luận
Trên đây là những tổng hợp lý thuyết cơ bản và các bài tập vận dụng về xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác. Hy vọng qua bài viết này, Cmath sẽ giúp các bạn ôn lại các kiến thức để bạn có thể tự tin làm bài và áp dụng nó thật nhuần nhuyễn trong các dạng bài khác nhau và là hành trang đầy đủ khi bước vào kỳ thi quan trọng.
Tính chẵn lẻ của hàm số là gì?
Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.
Hàm số chẵn là như thế nào?
Hàm số f[x] được gọi là hàm số chẵn nếu thỏa mãn điều kiện: Với mọi x∈Q x ∈ Q => −x∈Q. f[−x]=f[x] f [ − x ] = f [ x ] , với mọi x∈Q.
Tại sao hàm số sin là hàm số lẻ?
- Hàm số y = sin[x] là hàm số lượng giác lẻ vì sin[x] = sin[-x] với mọi giá trị x thuộc R. - Hàm số y = cos[x] là hàm số lượng giác chẵn vì cos[x] = cos[-x] với mọi giá trị x thuộc R.
Hàm số chẵn đối xứng qua đâu?
Về mặt hình học, đồ thị của một hàm số chẵn đối xứng qua trục y, nghĩa là đồ thị của nó giữ không đổi sau phép lấy đối xứng qua trục y. Ví dụ về các hàm chẵn là: Hàm giá trị tuyệt đối. Các hàm đơn thức dạng.