Các bài toán chứng minh bdt có dạng nesbit năm 2024
67% found this document useful (3 votes) Show 923 views 9 pages Bat dang thuc NESBITT Book.vnmath.com Original TitleBat dang thuc NESBITT Book.vnmath.com Copyright© Attribution Non-Commercial (BY-NC) Available FormatsPDF, TXT or read online from Scribd Share this documentDid you find this document useful?67% found this document useful (3 votes) 923 views9 pages Bat Dang Thuc NESBITT1 TI Ế P N Ố I CÂU CHUYÊN V Ề “B Ấ T ĐẲ NG TH Ứ C NESBITT” Cao Minh Quang, GV THPT chuyên Nguy ễ n B ỉ nh Khiêm, V ĩ nh Long, E-mail: [email protected] ***** 1. L ờ i gi ớ i thi ệ u Tháng 3 n ă m 1903, trên t ạ p chí “Educational Times”, A. M. Nesbitt đ ã đề xu ấ t bài toán sau Cho ,, a b c là các s ố th ự c d ươ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng: ( ) 3 12 a b cb c c a a b + + ≥+ + + . Đẳ ng th ứ c x ả y ra khi và ch ỉ khi a b c \= \= . Ngoài ra, ta c ũ ng nh ậ n th ấ y r ằ ng, (1) ở d ạ ng đồ ng b ậ c nên để ch ứ ng minh (1), v ớ i đ i ề u ki ệ n ,, a b c là các s ố th ự c d ươ ng, ta còn có th ể gi ả s ử 1 a b c + + \= , t ứ c là ch ứ ng minh b ấ t đẳ ng th ứ c ( ) 3 22 x y z y z z x x y + + ≥+ + + , trong đ ó ,, x y z là các s ố th ự c d ươ ng có t ổ ng b ằ ng 1. Bài toán qu ả th ậ t r ấ t đơ n gi ả n và đẹ p đẽ , nó đ ã đượ c r ấ t nhi ề u ng ườ i quan tâm và tìm các cách gi ả
ạ p chí Toán H ọ c Tu ổ i Tr ẻ s ố 358 (tháng 4 – 2007), tác gi ả V ũ Đ ình Hòa đ ã gi ớ i thi ệ u cho b ạ n đọ c m ộ t d ạ ng t ổ ng quát c ủ a b ấ t đẳ ng th ứ c (1), đ ó chính là b ấ t đẳ ng th ứ c Shapiro đượ c phát bi ể u d ướ i d ạ ng: V ớ i m ọ i ( ) 1 0,01,2,...,, i i i n i i x x x i n x x + + ≥ + \> \= \= thì ta có 112 2 nii i i x n x x \= + + ≥+ ∑ . Đẳ ng th ứ c x ả y ra khi và ch ỉ khi 12 ... n x x x \= \= \= . Trong bài vi ế t nh ỏ này, tôi xin t ổ ng h ợ p các l ờ i gi ả i cho b ấ t đẳ ng th ứ c (1) và m ộ t s ố k ế t qu ả khác đượ c phát tri ể n t ừ (1) trong th ờ i gian g ầ n đ ây. 2. M ộ t s ố l ờ i gi ả i cho b ấ t đẳ ng th ứ c Nesbitt Th ậ t s ự b ấ t đẳ ng th ứ c (1) có r ấ t nhi ề u cách gi ả i, ngoài m ộ t s ố cách r ấ t đơ n gi ả n còn có nh ữ ng cách ph ứ c t ạ p, đ ôi khi ph ả i s ử d ụ ng đế n các b ấ t đẳ ng th ứ c c ổ đ i ể n (Jensen, Karamata), đị nh lí d ồ n bi ế n, … 2.1. Nhóm các l ờ i gi ả i s ử d ụ ng phép bi ế n đổ i t ươ ng đươ ng ph ố i h ợ p v ớ i các b ấ t đẳ ng th ứ c thông d ụ ng. L ờ i gi ả i 1. C ộ ng 3 vào hai v ế c ủ a b ấ t đẳ ng th ứ c (1), ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 9111111192 a b ca b b c c ab c c a a b a b b c c a ⇔ + + + + + ≥ ⇔ + + + + + + + ≥ + + + + + + . D ễ th ấ y b ấ t đẳ ng th ứ c trên đ úng vì ta luôn có ( ) 1119 ,,0 x y z x y z x y z + + + + ≥ ∀ \> . L ờ i gi ả i 2. B ấ t đẳ ng th ứ c (1) t ươ ng đươ ng v ớ i b ấ t đẳ ng th ứ c 1110222 a b cb c a c a b − + − + − ≥ + + + 0 a b a c b c b a c a c bb c a c a b − + − − + − − + −⇔ + + ≥+ + + ( ) ( ) ( ) 1111110 a b b c a cb c c a a c c b b c a b ⇔ − − + − − + − − ≥ + + + + + + ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 222 0 a b b c a cb c a c a c a b b c a b − − −⇔ + + ≥+ + + + + + . L ờ i gi ả i 3. S ử d ụ ng đẳ ng th ứ c ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 a b b c c a ab a b bc b c ca c a abc + + + \= + + + + + + ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 12[]3 a a b a c b b a b c c c a c b a b b c c a ⇔ + + + + + + + + ≥ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 333 2 a b c ab a b bc b c ca c a ⇔ + + ≥ + + + + + . B ấ t đẳ ng th ứ c cu ố i đượ c suy ra t ừ b ấ t đẳ ng th ứ c ( ) 33 x y xy x y + ≥ + , trong đ ó , x y là các s ố th ự c d ươ ng. 2 L ờ i gi ả i 4. Ta nh ậ n th ấ y r ằ ng ( ) ( ) ( ) ( )( ) 312 a a b c b a b c c a b ca b cb c a c a b + + + + + +⇔ + + ≥ + ++ + + 222 2 a b c a b ca b cb c c a a b + +⇔ + + + ≥ + ++ + + . Do đ ó, ta ch ỉ c ầ n ch ứ ng minh b ấ t đẳ ng th ứ c cu ố
ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c AM – GM, ta có 22 2.44 a b c a b cab c b c + ++ ≥ \=+ + T ươ ng t ự , ta có 22 ,44 b c a c a bb cc a a b + ++ ≥ + ≥+ + . C ộ ng các b ấ t đẳ ng th ứ c trên theo t ừ ng v ế , ta đượ c đ i ề u ph ả i ch ứ ng minh. 2.2. Nhóm các l ờ i gi ả i s ử d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c c ổ đ i ể L ờ i gi ả i 5. S ử d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c Cauchy – Schwarz, d ạ ng ( ) 21212121222 ......... nnn n n a a aaa ab b b a b a b a b + + ++ + + ≥+ + + , trong đ ó 1212 ,,...,,,,..., n n a a a b b b là các s ố th ự c d ươ ng. Ta có ( )( )( )( ) 2 33222 a b c ab bc caa b cb c c a a b ab bc ca ab bc ca + + + ++ + ≥ ≥ \=+ + + + + + + . L ờ i gi ả i 6. Không m ấ t tính t ổ ng quát, ta gi ả s ử a b c ≥ ≥ . Khi đ ó, d ễ dàng ki ể m tra đượ c 111 b c c a a b ≥ ≥+ + + . Do đ ó, s ử d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c Chebyshev ph ố i h ợ p v ớ i b ấ t đẳ ng th ứ c AM – GM, ta có ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1111193.332 a b ca b c a b cb c c a a b b c c a a b b c c a a b + + ≥ + + + + ≥ + + \= + + + + + + + + + + + . * S ử d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c c ủ a dãy s ắ p th ứ t ự , d ạ ng: V ớ i 6 s ố th ự c 123123 ,,,,, x x x y y y th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n 123123 , x x x y y y ≥ ≥ ≥ ≥ . Khi đ ó ( ) 123 112233123 * i i i x y x y x y x y x y x y + + ≥ + + , trong đ ó ( ) 123 ,, i i i là m ộ t hoán v ị c ủ a b ộ ( ) 1,2,3. Ch ứ ng minh. Đặ t 123 123 ,, i i i z y z y z y \= \= \= . Khi đ ó (*) tr ở thành ( ) 112233112233 ** x y x y x y x z x z x z + + ≥ + + hay ( ) ( ) ( ) 111222333 0 x y z x y z x y z − + − + − ≥ . Ta nh ậ n th ấ y r ằ ng 11 y z ≥ , 1212 y y z z + ≥ + và 123123 y y y z z z + + \= + + . Do đ ó, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 111222333211222333 x y z x y z x y z x y z x y z x y z − + − + − ≥ − + − + − \= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2121233331212333 x y y z z x y z x y y z z x y z \= + − + + − ≥ + − + + − \= ( ) ( ) 3123123 0 x y y y z z z \= + + − + + \= . V ậ y (**) đ ã đượ c ch ứ ng minh. Ta có l ờ i gi ả i sau: L ờ i gi ả i 7. [ Cao Minh Quang ] Không m ấ t tính t ổ ng quát, ta gi ả s ử a b c ≥ ≥ . Ta ki ể m tra đượ c 111 b c c a a b ≥ ≥+ + + . Áp d ụ ng b ổ đề trên, ta có a b c b c ab c c a a b b c c a a b + + ≥ + ++ + + + + + , a b c c a bb c c a a b b c c a a b + + ≥ + ++ + + + + + C ộ ng 2 b ấ t đẳ ng th ứ c trên theo t ừ ng v ế , ta đượ c 2 a b c b c c a a bb c c a a b b c c a a b + + + + + ≥ + + + + + + + + hay 32 a b cb c c a a b + + ≥+ + + . 3 V ớ i vi ệ c chu ẩ n hóa 1 x y z + + \= , giúp ta có nh ữ ng l ờ i gi ả i khác cho (2). L ờ i gi ả i 8. Xét hàm s ố ( ) 1 x y f x x \= \=− . Ta ch ứ ng minh đượ c hàm s ố này l ồ i trên ( ) 0,1. Áp d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c Jensen, ta có ( ) ( ) ( ) 133 x y z f x f y f z f + + + + ≥ hay 31112 x y z x y z x y z y z z x x y + + \= + + ≥− − − + + + . Ngoài l ờ i gi ả i trên, v ớ i vi ệ c ch ứ ng minh đượ c hàm s ố ( ) 1 x y f x x \= \=− l ồ i trên ( ) 0,1 còn giúp ta có m ộ t l ờ i gi ả i khác cho (1’) nh ư sau. L ờ i gi ả i 9. [ Cao Minh Quang ] Không m ấ t tính t ổ ng quát, ta gi ả s ử x y z ≥ ≥ . Khi đ ó, d ễ th ấ y 11,33 x z ≥ ≤ , suy ra 121133 x y z + \= − ≥ − \= , do đ ó ( ) 111,,,,333 x y z ≻ . Áp d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c Karamata cho hàm ( ) 1 x y f x x \= \=− , l ồ i trên ( ) 0,1 , đố i v ớ i b ộ tr ộ i ( ) 111,,,,333 x y z ≻ , ta có ( ) ( ) ( ) 111333 f x f y f z f f f + + ≥ + + hay 32 x y z y z z x x y + + ≥+ + + . 2.3. Nhóm các l ờ i gi ả i s ử d ụ ng ph ươ ng pháp đổ i bi ế n, ph ố i h ợ p v ớ i các b ấ t đẳ ng th ứ c c ổ đ i ể L ờ i gi ả i 10. Đặ t ,, x b c y c a z a b \= + \= + \= + . Khi đ ó 2 y z xa + −\= , ,22 z x y x y zb c + − + −\= \= . Do đ ó b ấ t đẳ ng th ứ c (1) tr ở thành 32222 y z x z x y x y z x y z + − + − + −+ + ≥ , hay 6 y z z x x y x y z + + ++ + ≥ . D ễ th ấ y b ấ t đẳ ng th ứ c cu ố i luôn đ úng, vì theo b ấ t đẳ ng th ứ c AM – GM, ta có 6 6.....6 y z z x x y x x y y z z x x y x y z y z z x x y y z z + + ++ + + + + ≥ \= . L ờ i gi ả i 11. Đặ t a b c Ab c c a a b \= + ++ + + , , b c a c a b B C b c c a a b b c c a a b \= + + \= + ++ + + + + + . Ta có 3,, b c c a a b a b b c c a a c b a c b B C A B A C b c c a a b b c c a a b b c c a a b + + + + + + + + ++ \= + + \= + \= + + + \= + ++ + + + + + + + + . Áp d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c AM – GM, ta có 3 3..3 a b b c c a A Bb c c a a b + + ++ ≥ \=+ + + , 3 3..3 a c b a c b A C b c c a a b + + ++ ≥ \=+ + + . Suy ra 26 A B C + + ≥ hay 32 A ≥ . L ờ i gi ả i 12. [ Hojoo Lee ] Đặ t ,,, a b c x y zb c c a a b \= \= \=+ + + và 3 x y z A + +\= . Ta c ầ n ch ứ ng minh 12 A ≥ . Ta có 1111 x y z a b c x y z a b c + ++ + \= \=+ + + + + . Suy ra 12 xyz xy yz zx \= + + + . Áp d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c AM – GM, ta có 32 1223 xyz xy yz zx A A \= + + + ≤ + Do đ ó ( )( ) 2 2110 A A − + ≥ , hay 12 A ≥ . L ờ i gi ả i 13. [ Hojoo Lee ] Đặ t ,, a b c x y zb c c a a b \= \= \=+ + + . Ta có |
