Các bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng

1. toạ độ trong mặt phẳng TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : x - 7 y + 17 = 0 , d2 : x + y - 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 một tam giác cân tại giao điểm của d1, d2 . · Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là: x - 7 y + 17 x+ y-5 é x + 3y - 13 = 0 (D1 ) = Ûê ë3 x - y - 4 = 0 (D2 ) 12 + (-7)2 12 + 12 Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với D1 hoặc D2 . KL: x + 3y - 3 = 0 và 3x - y + 1 = 0 Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : 2 x - y + 5 = 0 . d2 : 3 x + 6 y – 7 = 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. r r · d1 VTCP a1 = (2; -1) ; d2 VTCP a2 = (3;6) uu uu r r Ta có: a1.a2 = 2.3 - 1.6 = 0 nên d1 ^ d2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: d : A( x - 2) + B( y + 1) = 0 Û Ax + By - 2 A + B = 0 d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450 2A - B é A = 3B Û = cos 450 Û 3 A2 - 8 AB - 3B 2 = 0 Û ê ë B = -3 A A2 + B2 22 + (-1)2 * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3 x + y - 5 = 0 * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x - 3y - 5 = 0 Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d : 3x + y - 5 = 0 ; d : x - 3y - 5 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) d1 : x - 7 y + 17 = 0 , d2 : x + y - 5 = 0 , P(0;1) . ĐS: x + 3y - 3 = 0 ; 3 x - y + 1 = 0 . Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + 5 = 0 , d2 : 3 x + y + 1 = 0 và điểm I (1; -2) . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao cho AB = 2 2 . uu r uu r · Giả sử A(a; -3a - 5) Î d1; B(b; -3b - 1) Î d2 ; IA = (a - 1; -3a - 3); IB = (b - 1; -3b + 1) uu r uu r ìb - 1 = k (a - 1) I, A, B thẳng hàng Þ IB = kIA Û í î-3b + 1 = k (-3a - 3) · Nếu a = 1 thì b = 1 Þ AB = 4 (không thoả). b -1 · Nếu a ¹ 1 thì -3b + 1 = (-3a - 3) Û a = 3b - 2 a -1 2 AB = (b - a)2 + é3(a - b) + 4 ù = 2 2 Û t 2 + (3t + 4)2 = 8 (với t = a - b ). ë û 2 5 + Với t = -2 Þ a - b = -2 Þ b = 0, a = -2 Þ D : x + y + 1 = 0 Û 5t 2 + 12t + 4 = 0 Û t = -2; t = - Trang 1
2. trong mặt phẳng + Với t = Câu 4. Trần Sĩ Tùng -2 -2 4 2 Þ a-b = Þ b = , a = Þ D : 7x - y - 9 = 0 5 5 5 5 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + 1 = 0 , d2 : 2 x – y –1 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương uuur uuur r ứng tại A và B sao cho 2 MA + MB = 0 . · Giả sử: A(a; uuur uuur r – 1). –a–1), B(b; 2b Từ điều kiện 2 MA + MB = 0 tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : x + y + 1 = 0, d2 : x – 2 y + 2 = 0 lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA. uuur ì A Î (d1 ) ï MA ì A(a; -1 - a) ì uuur = (a - 1; -1 - a) ·í . Ûí Þí î B(2b - 2; b) ï MB = (2b - 3; b) î B Î (d 2 ) î uuur uuur uuur uuur Từ A, B, M thẳng hàng và MB = 3MA Þ MB = 3MA (1) hoặc MB = -3MA (2) ì æ 2 1ö ì A 0; -1) ïA - ;Þ (d ) : x - y - 1 = 0 (1) Þ í ç 3 3 ÷ Þ (d ) : x - 5y - 1 = 0 hoặc (2) Þ í ( è ø î B(4;3) ï B(-4; -1) î Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : 3x - y - 5 = 0, d2 : x + y - 4 = 0 lần lượt tại A, B sao cho Câu 6. 2 MA – 3MB = 0 . · Giả sử A(a;3a - 5) Î d1 , B(b;4 - b) Î d2 . uuur uuur é2 MA = 3MB (1) uuur Vì A, B, M thẳng hàng và 2 MA = 3MB nên ê uuur 2 MA = -3MB (2) ë ì 5 æ 5 5ö ïa = ì2(a - 1) = 3(b - 1) + (1) Û í Ûí 2 Þ A ç 2 ; 2 ÷ , B(2;2) . Suy ra d : x - y = 0 . î2(3a - 6) = 3(3 - b) è ø ïb = 2 î ì2(a - 1) = -3(b - 1) ìa = 1 + (2) Û í Ûí Þ A(1; -2), B(1;3) . Suy ra d : x - 1 = 0 . î2(3a - 6) = -3(3 - b) îb = 1 Vậy có d : x - y = 0 hoặc d : x - 1 = 0 . Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA + 3OB) nhỏ nhất. Câu 7. · PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): M(3; 1) Î d 1 = x y + = 1 (a,b>0) a b 3 1 Cô - si 3 1 + ³ 2 . Þ ab ³ 12 . a b a b ìa = 3b ï ìa = 6 Mà OA + 3OB = a + 3b ³ 2 3ab = 12 Þ (OA + 3OB)min = 12 Û í 3 1 1 Û í îb = 2 ïa = b = 2 î x y Phương trình đường thẳng d là: + = 1 Û x + 3y - 6 = 0 6 2 Trang 2
3. toạ độ trong mặt phẳng Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA + OB nhỏ nhất. · x + 2y - 6 = 0 Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2) 9 4 và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho nhỏ nhất. + OA2 OB 2 · Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên x y A(a; 0); B(0; b) với a.b ¹ 0 Þ Phương trình của (d) có dạng + = 1 . a b 1 2 Vì (d) qua M nên + = 1 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có : a b Câu 9. 2 2 æ1 2ö æ1 3 2 ö æ 1 öæ 9 4 ö 9 4 9 9 4 9 1 = ç + ÷ = ç . + 1. ÷ £ ç + 1÷ç + ÷ Û Û + 2³ + ³ . 2 2 2 2 2 b ø è 9 øè a 10 10 b ø a b OA OB èa bø è3 a 1 3 2 1 2 20 Dấu bằng xảy ra khi : = 1: và + = 1 Û a = 10, b = Þ d : 2 x + 9 y - 20 = 0 . 3 a b a b 9 Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(3;1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2). · x + 3y - 6 = 0; x - y - 2 = 0 Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S = 4 . · Gọi A(a;0), B(0; b) (a, b ¹ 0) là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: d : x y + =1 . a b ì2 1 ì2b + a = ab ï + =1 Theo giả thiết, ta có: í a b Ûí . î ab = 8 ï ab = 8 î · Khi ab = 8 thì 2b + a = 8 . Nên: b = 2; a = 4 Þ d1 : x + 2 y - 4 = 0 . · Khi ab = -8 thì 2b + a = -8 . Ta có: b2 + 4b - 4 = 0 Û b = -2 ± 2 2 . + Với b = -2 + 2 2 Þ d : (1 - 2 ) x + 2 (1 + 2 ) y - 4 = 0 + Với b = -2 - 2 2 Þ d : (1 + 2 ) x + 2 (1 - 2 ) y + 4 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) M (8;6), S = 12 . ĐS: d : 3x - 2 y - 12 = 0 ; d : 3x - 8y + 24 = 0 Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình 2 x – y + 3 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (D) qua A và tạo với d một góc α có cosα 1 = . 10 · PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y + 1) = 0 Û ax + by – 2a + b = 0 (a2 + b2 ¹ 0) Ta có: cos a = 2a - b = 1 Û 7a2 – 8ab + b2 = 0. Chon a = 1 Þ b = 1; b = 7. 10 5(a2 + b2 ) Þ (D1): x + y – 1 = 0 và (D2): x + 7y + 5 = 0 Trang 3
4. trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d : 2 x + 3y + 4 = 0 . Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 450 . · PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y - 1) = 0 Û ax + by – (2a + b) = 0 (a2 + b2 ¹ 0) . 2a + 3b Ta có: cos 450 = é a = 5b Û 5a2 - 24ab - 5b2 = 0 Û ê ë5a = - b 13. a2 + b2 + Với a = 5b . Chọn a = 5, b = 1 Þ Phương trình D : 5 x + y - 11 = 0 . + Với 5a = -b . Chọn a = 1, b = -5 Þ Phương trình D : x - 5y + 3 = 0 . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2 x - y - 2 = 0 và điểm I(1;1) . Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng 0 d một góc bằng 45 . · Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ¹ 0) . Vì (· ) = 450 nên d, D 2a - b 2 2 a +b . 5 1 é a = 3b Ûê ë b = -3a 2 = 4+c éc = 6 = 10 Û ê ëc = -14 10 -2 + c é c = -8 = 10 Û ê · Với b = -3a Þ D: x - 3y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û ëc = 12 10 · Với a = 3b Þ D: 3x + y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û Vậy các đường thẳng cần tìm: 3 x + y + 6 = 0; 3x + y - 14 = 0 ; x - 3y - 8 = 0; x - 3y + 12 = 0 . Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình lần lượt là 3x + y + 2 = 0 và x - 3y + 4 = 0 . Gọi A là giao điểm của d1 và d2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại B , C ( B và C khác A ) sao cho 1 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất. AB 2 AC 2 · A = d1 Ç d2 Þ A(-1;1) . Ta có d1 ^ d2 . Gọi D là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu vuông góc của A trên D . ta có: 1 1 1 AB 2 + 1 AC 2 = 1 1 AH 2 ³ 1 AM 2 (không đổi) khi H º M, hay D là đường thẳng đi qua M AB AC AM 2 và vuông góc với AM. Þ Phương trình D: x + y - 2 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với M(1; -2) , d1 : 3 x + y + 5 = 0 , d2 : x - 3y + 5 = 0 . ĐS: D : x + y + 1 = 0 . Þ 2 + 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x – 3y – 4 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 4 y = 0 . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1). · M Î (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b) 6 N Î (C) Þ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 Þ b = 0; b = 5 Trang 4
5. toạ độ trong mặt phẳng æ 38 6 ö æ 8 4ö Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M ç ; ÷ , N ç - ; ÷ è 5 5ø è 5 5ø Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng D: 2 x + 3y + 4 = 0 . Tìm điểm B thuộc đường thẳng D sao cho đường thẳng AB và D hợp với nhau góc 450 . r ì x = 1 - 3t · D có PTTS: í và VTCP u = (-3;2) . Giả sử B(1 - 3t; -2 + 2t ) Î D . î y = -2 + 2t é 15 uuu r r uuu r r êt = 13 1 AB.u 1 2 0 ( AB, D) = 45 Þ cos( AB; u) = Û Û 169t - 156t - 45 = 0 Û ê . r = AB. u 2 2 êt = - 3 13 ë æ 32 4 ö æ 22 32 ö Vậy các điểm cần tìm là: B1 ç - ; ÷ , B2 ç ; - ÷ . è 13 13 ø è 13 13 ø Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x - 3y - 6 = 0 và điểm N(3; 4) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích 15 bằng . 2 uuu r · Ta có ON = (3; 4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: 4 x - 3y = 0 . Giả sử M (3m + 6; m) Î d . 2S 1 Khi đó ta có SDONM = d ( M , ON ).ON Û d ( M , ON ) = DONM = 3 2 ON 4.(3m + 6) - 3m -13 Û = 3 Û 9m + 24 = 15 Û m = -1; m = 5 3 æ -13 -13 ö + Với m = -1 Þ M (3; -1) + Với m = Þ M ç -7; ÷ 3 3 ø è Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d : x - 2 y + 2 = 0 . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC . · Giả sử B(2b - 2; b), C (2c - 2; c) Î d . uuu r r æ2 6ö 2 5 5 Vì DABC vuông ở B nên AB ^ d Û AB.ud = 0 Û B ç ; ÷ Þ AB = Þ BC = 5 5 è 5 5ø éc = 1 Þ C (0;1) 5 1 BC = 125c 2 - 300c + 180 = Û ê æ4 7ö 7 êc = Þ C ç ; ÷ 5 5 5 è 5 5ø ë Câu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y - 3 = 0 , d2 : x + y - 9 = 0 và điểm A(1; 4) . Tìm điểm B Î d1, C Î d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. uuu r uuu r · Gọi B(b;3 - b) Î d1, C (c;9 - c) Î d2 Þ AB = (b - 1; -1 - b) , AC = (c - 1;5 - c) . uuu uuu r r ì(b - 1)(c - 1) - (b + 1)(5 - c) = 0 ì AB. AC = 0 DABC vuông cân tại A Û í Ûí 2 2 2 2 (*) î AB = AC î(b - 1) + (b + 1) = (c - 1) + (5 - c) Vì c = 1 không là nghiệm của (*) nên Trang 5
6. trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì (b + 1)(5 - c) (1) ïb - 1 = c -1 ï (*) Û í (5 - c)2 ï(b + 1)2 + (b + 1)2 = (c - 1)2 + (5 - c)2 (2) 2 ï (c - 1) î éb = c - 2 . Từ (2) Û (b + 1)2 = (c - 1)2 Û ê ë b = -c + Với b = c - 2 , thay vào (1) ta được c = 4, b = 2 Þ B(2;1), C (4;5) . + Với b = -c , thay vào (1) ta được c = 2, b = -2 Þ B(-2;5), C (2;7) . Vậy: B(2;1), C (4;5) hoặc B(-2;5), C (2;7) . Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có phương trình: d1 : (m –1) x + (m – 2) y + 2 – m = 0 ; d2 : (2 – m) x + (m –1) y + 3m – 5 = 0 . Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 Ç d2. Tìm m sao cho PA + PB lớn nhất. ì(m - 1) x + (m - 2)y = m - 2 · Xét Hệ PT: í . î(2 - m) x + (m - 1)y = -3m + 5 2 æ 3ö 1 m -1 m - 2 Ta có D = = 2 ç m - ÷ + > 0, "m 2 - m m -1 2ø 2 è Þ d1, d2 luôn cắt nhau. Ta có: A(0;1) Î d1, B(2; -1) Î d2 , d1 ^ d2 Þ D APB vuông tại P Þ P nằm trên đường tròn đường kính AB. Ta có: ( PA + PB)2 £ 2( PA2 + PB2 ) = 2 AB 2 = 16 Þ PA + PB £ 4 . Dấu "=" xảy ra Û PA = PB Û P là trung điểm của cung » AB Û P(2; 1) hoặc P(0; –1) Û m = 1 hoặc m = 2 . Vậy PA + PB lớn nhất Û m = 1 hoặc m =2. Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – 2 y – 2 = 0 và hai điểm A(-1;2) , B(3;4) . Tìm điểm MÎ(D) sao cho 2 MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất. uuur uuur · Giả sử M M (2t + 2; t ) Î D Þ AM = (2t + 3; t - 2), BM = (2t - 1; t - 4) æ 2ö æ 26 2 ö Ta có: 2 AM 2 + BM 2 = 15t 2 + 4t + 43 = f (t ) Þ min f (t ) = f ç - ÷ Þ M ç ; - ÷ è 15 ø è 15 15 ø Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : 2 x - y + 3 = 0 và 2 điểm A(1; 0), B(2;1) . Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất. · Ta có: (2 x A - y A + 3).(2 x B - yB + 3) = 30 > 0 Þ A, B nằm cùng phía đối với d. Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua d Þ A¢(-3;2) Þ Phương trình A¢B : x + 5y - 7 = 0 . Với mọi điểm M Î d, ta có: MA + MB = MA¢ + MB ³ A¢B . Mà MA¢ + MB nhỏ nhất Û A¢, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của A¢B với d. æ 8 17 ö Khi đó: M ç - ; ÷ . è 11 11 ø Trang 6
7. toạ độ trong mặt phẳng TĐP 02: ĐƯỜNG TRÒN Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): 2 x – y – 5 = 0 và đường tròn (C’): x 2 + y 2 - 20 x + 50 = 0 . Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1). · A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x 2 + y 2 - 4 x - 8y + 10 = 0 3 , A(2; –3), 2 B(3; –2), trọng tâm của DABC nằm trên đường thẳng d : 3x – y – 8 = 0 . Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C. · Tìm được C (1; -1) , C2 (-2; -10) . 1 11 11 16 + Với C1(1; -1) Þ (C): x 2 + y 2 - x + y + =0 3 3 3 91 91 416 + Với C2 (-2; -10) Þ (C): x 2 + y 2 - x + y + =0 3 3 3 Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : 2 x + y - 3 = 0 , d2 : 3 x + 4 y + 5 = 0 , d3 : 4 x + 3y + 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3. · Gọi tâm đường tròn là I (t;3 - 2t ) Î d1. 3t + 4(3 - 2t ) + 5 4t + 3(3 - 2t ) + 2 ét = 2 = Û ê 5 5 ët = 4 49 9 Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = và ( x - 4)2 + ( y + 5)2 = . 25 25 Câu hỏi tương tự: a) Với d1 : x – 6 y –10 = 0 , d2 : 3 x + 4 y + 5 = 0 , d3 : 4 x - 3y - 5 = 0 . Khi đó: d (I , d2 ) = d ( I , d3 ) Û 2 2 2 æ 10 ö æ 70 ö æ 7 ö ĐS: ( x - 10) + y = 49 hoặc ç x - ÷ + ç y + ÷ = ç ÷ . 43 ø è 43 ø è 43 ø è 2 2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x + 3y + 8 = 0 , D ' :3x - 4 y + 10 = 0 và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng D , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D¢. Câu 4. · Giả sử tâm I (-3t - 8; t ) Î D.. Ta có: d ( I , D¢ ) = IA Û 3(-3t - 8) - 4t + 10 2 3 +4 2 = (-3t - 8 + 2)2 + (t - 1)2 Û t = -3 Þ I (1; -3), R = 5 PT đường tròn cần tìm: ( x - 1)2 + ( y + 3)2 = 25 . Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : 4 x - 3y + 3 = 0 và D ' : 3 x - 4 y - 31 = 0 . Lập phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng D tại điểm có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với D '. Tìm tọa độ tiếp điểm của (C ) và D ' . Câu 5. · Gọi I (a; b) là tâm của đường tròn (C). (C ) tiếp xúc với D tại điểm M(6;9) và (C ) tiếp xúc với D¢ nên Trang 7
8. trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì ì 4a - 3b + 3 3a - 4b - 31 54 - 3a ìd (r , D) = d (I , D ') ï ï 4a - 3 + 3 = 6a - 85 = uuuI r Ûí Ûí í 4 5 5 î IM ^ uD = (3; 4) ï3(a - 6) + 4(b - 9) = 0 ï3a + 4b = 54 î î ì ï 25a - 150 = 4 6a - 85 é a = 10; b = 6 Ûí Ûê 54 - 3a b= ë a = -190; b = 156 ï 4 î Vậy: (C ) : ( x - 10)2 + ( y - 6)2 = 25 tiếp xúc với D ' tại N(13;2) hoặc (C ) : ( x + 190)2 + ( y - 156)2 = 60025 tiếp xúc với D ' tại N(-43; -40) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2; -1) và tiếp xúc với các trục toạ độ. é( x - a)2 + ( y + a)2 = a2 (a) · Phương trình đường tròn có dạng: ê 2 2 2 ê( x - a ) + ( y - a ) = a ( b ) ë a) Þ a = 1; a = 5 b) Þ vô nghiệm. Câu 6. Kết luận: ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 1 và ( x - 5)2 + ( y + 5)2 = 25 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : 2 x - y - 4 = 0 . Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d). 4 · Gọi I (m;2m - 4) Î (d ) là tâm đường tròn cần tìm. Ta có: m = 2m - 4 Û m = 4, m = . 3 Câu 7. 2 2 æ 4ö æ 4 ö 16 4 · m = thì phương trình đường tròn là: ç x - ÷ + ç y + ÷ = . 3 3ø è 3ø 9 è · m = 4 thì phương trình đường tròn là: ( x - 4)2 + ( y - 4)2 = 16 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (D): 3x – 4 y + 8 = 0 . Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (D). Câu 8. · Tâm I của đường tròn nằm r uuutrên đường trung trực d của đoạn AB d qua M(1; 2) có VTPT là AB = (4;2) Þ d: 2x + y – 4 = 0 Þ Tâm I(a;4 – 2a) éa = 3 Ta có IA = d(I,D) Û 11a - 8 = 5 5a2 - 10a + 10 Û 2a2 – 37a + 93 = 0 Û ê 31 êa = 2 ë · Với a = 3 Þ I(3;–2), R = 5 Þ (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 2 æ 31 ö æ 31 ö 4225 31 65 · Với a = Þ I ç ; -27 ÷ , R = Þ (C): ç x - ÷ + ( y + 27)2 = 2 2 2ø 4 è 2 ø è Câu 9. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x + 2 y - 3 = 0 và D : x + 3y - 5 = 0 . Lập 2 10 , có tâm thuộc d và tiếp xúc với D . 5 · Tâm I Î d Þ I (-2a + 3; a) . (C) tiếp xúc với D nên: phương trình đường tròn có bán kính bằng d (I , D) = R Û a-2 10 = 2 10 éa = 6 Ûê 5 ë a = -2 Trang 8
9. toạ độ trong mặt phẳng Þ (C): ( x + 9)2 + ( y - 6)2 = 8 8 hoặc (C): ( x - 7)2 + ( y + 2)2 = . 5 5 Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4 3 x - 4 = 0 . Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C¢), bán kính R¢ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A. · (C) có tâm I(-2 3;0) , bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I¢ là tâm của (C¢). ì PT đường thẳng IA : í x = 2 3t , I ' Î IA Þ I ¢(2 3t;2t + 2) . î y = 2t + 2 uur uur 1 AI = 2 I ¢A Û t = Þ I '( 3;3) Þ (C¢): ( x - 3)2 + ( y - 3)2 = 4 2 Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 – 4 y – 5 = 0 . Hãy viết æ4 2ö phương trình đường tròn (C¢) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M ç ; ÷ è 5 5ø · (C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M æ 8 -6 ö Þ I¢ ç ; ÷ Þ (C¢): è5 5 ø 2 2 æ 8ö æ 6ö çx - ÷ +çy+ ÷ = 9 5ø è 5ø è Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C¢) tâm M(5; 1) biết (C¢) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 3 . · (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3 . PT đường thẳng IM: 3x - 4 y - 11 = 0 . AB = 3 . ì H Î IM ì3 x - 4 y - 11 = 0 ï ï Gọi H ( x; y ) là trung điểm của AB. Ta có: í 3 Û í 9 2 2 2 2 ï IH = R - AH = 2 ï( x - 1) + ( y + 2) = 4 î î é 1 29 ê x = - 5 ; y = - 10 æ 1 29 ö æ 11 11 ö Û ê Þ H ç - ; - ÷ hoặc H ç ; - ÷ . è 5 10 ø è 5 10 ø ê x = 11 ; y = - 11 5 10 ë æ 1 29 ö · Với H ç - ; - ÷ . Ta có R¢2 = MH 2 + AH 2 = 43 Þ PT (C¢): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 43 . è 5 10 ø æ 11 11 ö · Với H ç ; - ÷ . Ta có R¢2 = MH 2 + AH 2 = 13 Þ PT (C¢): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 13 . è 5 10 ø Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 4 và điểm K(3;4) . Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C). · (C) có tâm I(1;2) , bán kính R = 2 . SD IAB lớn nhất Û DIAB vuông tại I Û AB = 2 2 . Mà IK = 2 2 nên có hai đường tròn thoả YCBT. + (T1 ) có bán kính R1 = R = 2 Þ (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 4 Trang 9
10. trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng + (T2 ) có bán kính R2 = (3 2)2 + ( 2)2 = 2 5 Þ (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 20 . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC æ1 ö với các đỉnh: A(–2;3), B ç ;0 ÷ , C (2;0) . è4 ø æ1 ö · Điểm D(d;0) ç < d < 2 ÷ thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A è4 ø 2 2 æ9ö 1 ç 4 ÷ + ( -3) dDB AB 4= è ø khi và chỉ khi = Û Þ 4d - 1 = 6 - 3d Þ d = 1. 2 DC AC 2-d 2 4 + ( -3 ) x +2 y-3 x +2 y -3 = Û x + y - 1 = 0 ; AC: = Û 3x + 4 y - 6 = 0 3 -3 4 -3 Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là 1- b và bán kính cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có: é 4 3 (1 - b ) + 4b - 6 ê b - 3 = 5b Þ b = - 3 = b Û b - 3 = 5b Þ ê 2 2 ê b - 3 = -5b Þ b = 1 3 +4 ë 2 1 Rõ ràng chỉ có giá trị b = là hợp lý. 2 Phương trình AD: 2 2 æ 1ö æ 1ö 1 Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp DABC là: ç x - ÷ + ç y - ÷ = 2ø è 2ø 4 è Câu 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): 4 x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4 x + 3y - 12 = 0 . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2) và trục Oy. · Gọi A = d1 Ç d2 , B = d1 Ç Oy, C = d2 Ç Oy Þ A(3; 0), B(0; -4), C (0;4) Þ DABC cân đỉnh A và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp DABC æ4 ö 4 Þ I ç ;0 ÷ , R = . 3 è3 ø Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y - 1 = 0 và hai đường tròn có phương trình: (C1): ( x - 3)2 + ( y + 4)2 = 8 , (C2): ( x + 5)2 + ( y - 4)2 = 32 . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2). · Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I (a; a –1)Î d . (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II 2 = R + R2 Þ II1 – R1 = II 2 – R2 Û (a - 3)2 + (a + 3)2 - 2 2 = (a - 5)2 + (a + 5)2 - 4 2 Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2 Þ Phương trình (C): x 2 + ( y + 1)2 = 2 . Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp DABC. Trang 10

Các bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội