Các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất lớp 7

Tìm giá trị lớn nhất [GTLN] – giá trị nhỏ nhất [GTNN] của biểu thức là một trong những dạng bài toán khó của chương trình toán trung học cơ sở. Dạng bài toán này thường xuyên xuất hiện trong các câu hỏi và đề thi nâng cao từ lớp 6 đến lớp 9. Trong bài viết dưới đây, chúng ta sẽ cùng nhau đi tìm hiểu về các dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và một số bài tập minh họa đơn giản giúp các em có thể hiểu rõ hơn về dạng toán này nhé.

Dạng bài số 1: Dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tính chất ΙxΙ ≥ 0. Chúng ta sẽ biến đổi biểu thức bất kì A về dạng A ≥ a [với một số a đã biết trước], từ đó có thể suy ra giá trị nhỏ nhất [GTNN] của biểu thức A là a. Đối với bài tập đi tìm giá trị lớn nhất [GTLN], biến đổi biểu thức bất kì B về dạng B ≤ b , vậy giá trị lớn nhất [GTLN] của biểu thức B là b

Dạng bài số 2: Dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hai biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đối với những biểu thức có chứa hai hạng tử và là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, áp dụng tính chất:

Với mọi x,y ∈ Q, có: Ιx+yΙ ≤ ΙxΙ + ΙyΙ

Ιx-yΙ ≥ ΙxΙ – ΙyΙ

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = [x-15]² – 12

B = -24 + Ιx-8Ι

C = 2[x-4]² + 19

D = Ιx-1Ι + Ιx-2019Ι

Gợi ý:

• Trong 2 ý a] và c] ta thấy hạng tử [x-15]² và hạng tử [x-4]² Ιx-8Ι[có chứa dấu giá trị tuyệt đối] luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x.
• Đối với ý b] và d] là bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ xét theo 2 phương pháp tìm GTLN – GTNN cho bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Lời giải:

1. A=[x-15]² – 12

Vì [x-15]² ≥ 0 ∀ x ⇒ [x-15]² – 12 ≥ -12 ∀ x

⇒ A ≥ -12 ∀x

Dấu “=” xảy ra x – 15 = 0 ⇔ x =15

Vậy giá trị nhỏ nhất [GTNN] của A = -12 khi x=15

1. B = -24 + Ιx-8Ι

Ta có: Ιx-8Ι ≥ 0 ∀ x ⇒ -24 + Ιx-8Ι ≥ -24 ∀ x

⇒B ≥ -24 ∀ x

Dấu “=” xảy ra x – 8 = 0 ⇔ x = 8

Vậy giá trị nhỏ nhất [GTNN] của B = -2 khi x = 8

1. C = 2[x-4]² + 19

Ta có: [x-4]² ≥ 0 ∀x ⇒ 2[x-4]² ≥ 0 ∀x

⇒ 2[x-4]² ≥ 19 ∀x

⇒ C ≥ 19 ∀x

Dấu “=” xảy ra x – 4 = 0 ⇔ x = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất [GTNN] của C = 19 khi x=4

1. D = Ιx-1Ι + Ιx-2019Ι

Vì ΙxΙ \= Ι-xΙ ⇒ Ιx-2019Ι \= Ι[2019-x]Ι, ta có:

D = Ιx-1Ι + Ιx-2019Ι

D = Ιx-1Ι + Ι2019-xΙ

Vì Ιx-1Ι + Ι2019-xΙ ≥ Ιx-1 + 2019-xΙ

⇒ Ιx-1Ι + Ι2019-xΙ ≥ 2018

⇒ D ≥ 2018

Vậy GTNN của D = 2018

Bài tập 2: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức K = 2Ι23x-1Ι – 4

Vì: Ι23x-1Ι ≥ 0 ∀x ⇒ 2Ι23x-1Ι ≥ 0 ∀ x ⇒ 2Ι23x-1Ι – 4 ≥ -4

⇒ K ≥ -4 ∀x

Dấu “=” xảy ra 23x – 1 = 0 ⇔ x = 1⁄23

Vậy giá trị nhỏ nhất [GTNN] của K = -4 khi x = 1⁄23

Dạng bài tập số 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một tam thức bậc hai

Biểu thức minh họa: ax² + bx + c. Đối với dạng bài tập có chứa biểu thức là tam thức bậc hai, ta sẽ biến đổi biểu thức đã cho về dạng bình phương của một tổng [hoặc một hiệu] cộng, trừ một số tự do.

Bài viết Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay

A. Phương pháp giải

Dạng 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a [với a là số đã biết] để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b [với b là số đã biết] từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.

Dạng 2: Các biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.

Phương pháp: Sử dụng tính chất

Với mọi x, y ∈ Q, ta có

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 1001| + 1

Lời giải:

A = |x + 1001| + 1

Vì |x + 1001| ≥ 0 ∀ x

Suy ra |x + 1001| + 1 ≥ 0 + 1 ∀ x

Do đó A ≥ 1 ∀ x

Vậy GTNN của A là , khi |x + 1001| = 0, nghĩa là x = -1001.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất B = 5 - |5x + 3|

Lời giải:

B = 5 - |5x + 3|

Vì |5x + 3| ≥ 0 ∀ x

⇒ -|5x + 3| ≤ 0 ∀ x

⇒ -|5x + 3| + 5 ≤ 5 ∀ x

⇒ 5 - |5x + 3| ≤ 5 ∀ x

Suy ra B ≤ 5 ∀ x

Vậy GTLN của B là 5, khi |5x + 3| = 0, nghĩa là 5x + 3 = 0 ⇒ x =

Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C = |x – 1| + |x – 2019|

Lời giải:

C = |x – 1| + |x – 2019|

\= |x – 1| + |-[x – 2019]| [vì |a| = |-a|]

\= |x – 1| + |2019 – x|

Vì |x – 1| + |2019 – x| ≥ |x – 1 + 2019 – x| [theo tính chất ở phần lý thuyết]

Mà |x – 1 + 2019 – x| = |2019 – 1| = |2018| = 2018

Suy ra C ≥ 2018

Vậy GTNN của C là 2018

Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức D = |x + 5000| - |x – 3000|

Lời giải:

D = |x + 5000| - |x – 3000| ≤ |x + 5000 – [x – 3000]| [áp dụng tính chất ở phần lý thuyết]

Vì | x + 5000 – [x – 3000]| = | x + 5000 – x + 3000| = |8000| = 8000

Suy ra D ≤ 8000

Vậy GTLN của D là 8000.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức A = -2 - |1,4 – x|

1. - 2

1. -3,4

1. 2

1. -1

Lời giải:

A = -2 - |1,4 – x|

Vì |1,4 – x| ≥ 0 ∀ x ⇒ -|1,4 – x| ≤ 0 ∀ x

⇒ - 2 -|1,4 – x| ≤ - 2 – 0 = -2 ∀ x

Do đó A ≤ - 2 ∀ x

Dấu “=” xảy ra khi 1,4 – x = 0 ⇒ x = 1,4

Vậy giá trị lớn nhất của A là -2, khi x = 1,4.

Đáp án A

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = |x – 5| + 10 là

1. 5

1. 0

1. 10

1. 15

Lời giải:

Vì |x – 5| ≥ 0 ∀ x ⇒ |x – 5| + 10 ≥ 0 + 10 = 10 ∀ x

Suy ra H ≥ 10 ∀ x

Dấu “=” xảy ra khi x – 5 = 0 hay x = 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của H là 10 khi x = 5.

Đáp án C

Câu 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức là

Lời giải:

Vì |x - 2| ≥ 0 ∀ x ⇒ |x – 2| + 3 ≥ 0 + 3 = 3 ∀ x

[lấy 1 chia cả hai vế, bất đẳng thức đổi dấu]

Suy ra

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0, hay x = 2

Vậy giá trị lớn nhất của N là khi x = 2.

Đáp án B

Câu 4. Biểu thức K = 2|3x – 1| - 4 đạt giá trị nhỏ nhất khi

Lời giải:

Vì |3x – 1| ≥ 0 ∀ x

⇒ 2|3x – 1| ≥ 2.0 = 0 ∀ x

⇒ 2|3x – 1| - 4 ≥ 0 – 4 = -4 ∀ x

Do đó K ≥ - 4 ∀ x

Dấu “=” xảy ra khi 3x – 1 = 0 ⇒ 3x = 1 ⇒ x = .

Vậy K đạt giá trị nhỏ nhất khi x = .

Đáp án C

Câu 5. Tìm giá trị của x và y để biểu thức có giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Đáp án B

Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = |x + 5| + |x - 1| + 4

1. 0

1. 4

1. 5

1. 10

Lời giải:

Ta có: |x – 1| = |-[x – 1]| = | 1 – x| [vì |a| = |-a|]

Khi đó N = |x + 5| + |1 – x| + 4

Vì |x + 5| + |1 - x| ≥ |x + 5 + 1 - x| = |6| = 6

Do đó N = |x + 5| + |x - 1| + 4 ≥ 6 + 4 = 10

Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 10

Đáp án D

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách tìm cơ số, số mũ của lũy thừa của một số hữu tỉ cực hay, chi tiết
• Cách tìm chữ số tận cùng của lũy thừa cực hay, chi tiết
• Cách so sánh hai lũy thừa cực hay, chi tiết
• Cách tính biểu thức có lũy thừa cực hay, chi tiết
• Cách lập tỉ lệ thức từ các số đã cho cực hay, chi tiết

Đã có lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• [mới] Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• [mới] Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• [mới] Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều
• Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Săn SALE shopee tháng 12:

• Đồ dùng học tập giá rẻ
• Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, KHÓA HỌC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 7

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 7 có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 7 và Hình học 7.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.