Các dạng toán xét tính liên tục của hàm số năm 2024
Bài viết hướng dẫn phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu giới hạn xuất bản trên TOANMATH.com. Phương pháp: Để xét tính liên tục của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x = x_0$, ta thực hiện theo các bước sau: • Cách 1: + Tính $f\left( {{x_0}} \right).$ + Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).$ + Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ thì hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0 .$ • Cách 2: + Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right).$ + Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right).$ + Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ thì hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0}.$ Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm $x = – 2.$
Ví dụ 2. Cho hàm số: $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{3 – \sqrt {{x^2} + 5} }}{{{x^2} – 4}} \: với \:x \ne \pm 2\\ – \frac{1}{6}\:với\:x = 2 \end{array} \right.$
Ví dụ 3. Xét tính liên tục tại giá trị ${x_0}$ của các hàm số sau:
Ví dụ 4. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}\:với\:x \ne 2\\ a\:với\:x = 2 \end{array} \right.$. Với giá trị nào của $a$ thì hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 2?$ Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x – 1} \right)$ $ = 1.$ Hàm số liên tục tại $x = 2$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ $ \Leftrightarrow a = 1.$ Vậy hàm số đã cho liên tục tại $x = 2$ khi $a = 1.$ Ví dụ 5. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\left| {2{x^2} – 7x + 6} \right|}}{{x – 2}}\:khi \:x < 2\\ {\rm{a + }}\frac{{1 – x}}{{2 + x}}\:khi\:x \ge 2 \end{array} \right. .$ Xác định $a$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 2.$ Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right)$ $ = \frac{{\left| {2{x^2} – 7x + 6} \right|}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{\left| {\left( {x – 2} \right)\left( {2x – 3} \right)} \right|}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{\left( {2 – x} \right)\left( {2x – 3} \right)}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {3 – 2x} \right)$ $ = – 1.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{\rm{a + }}\frac{{1 – x}}{{2 + x}}} \right)$ $ = a – \frac{1}{4} = f\left( 2 \right).$ Hàm số liên tục tại ${x_0} = 2$ $ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ $ = f\left( 2 \right)$ $ \Leftrightarrow a – \frac{1}{4}$ $ = – 1$ $ \Leftrightarrow a = – \frac{3}{4}.$ Ví dụ 6. Cho các hàm số $f(x)$ sau đây. Có thể định nghĩa $f\left( 0 \right)$ để hàm số $f\left( x \right)$ trở thành hàm liên tục tại $x = 0$ được không?
|