Các loại bất đẳng thức toán nâng cao năm 2024
|
VnDoc xin giới thiệu 150 bài tập về bất đẳng thức có đáp án. Bất đẳng thức là một dạng bài tập khó trong môn Toán, do đó, các bạn học sinh cần nhiều tài liệu, bài tập để có thể ôn luyện và nâng cao kỹ năng một cách hiệu quả.. Mời các bạn tham khảo. Show
150 bài tập về bất đẳng thức có đáp án được VnDoc chia sẻ trên đây. Tài liệu gồm 150 bài tập về bất đẳng thức và cực trị đại số, giúp các bạn học sinh có thêm nhiều bài tập ôn luyện, cũng như chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp tới. Chúc các bạn ôn tập tốt ........................................... Ngoài 150 bài tập về bất đẳng thức có đáp án. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2024 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt Với loạt Các dạng bài tập Bất đẳng thức và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10. Các dạng bài tập Bất đẳng thức và cách giải1. Lý thuyết
Các mệnh đề dạng “a > b” hoặc “a < b” được gọi là bất đẳng thức. Nếu mệnh đề “a < b ⇒ c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b ⇒ c < d. Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b ⇔ c < d.
Tên gọi và điều kiện Nội dung Cộng hai vế của bất đẳng thức với số bất kì a Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số c > 0 a c < 0 a Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều a>bc>d⇒a+c>b+d Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều 0 Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa n∈ℕ* a n∈ℕ* và a > 0 a Khai căn hai vế của một bất đẳng thức a > 0 a a bất kỳ a Chú ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b. Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a < b hoặc a > b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt. ∀a≥0; b≥0 thì ta có: a+b2≥ab. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. a+1a≥2, ∀a>0. Hệ quả 2: Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau. Hệ quả 3: Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau. Ta có các tính chất cho trong bảng sau: Điều kiện Nội dung |x| ≥0, |x| ≥x, |x| ≥−x a > 0 |x| ≤a⇔−a≤x≤a |x| ≥a⇔x≤−ax≥a 2. Các dạng toán Dạng 1.1: Chứng minh bất đẳng thức nhờ định nghĩa Để chứng minh A≥B (hoặc A > B), ta làm các bước sau: Bước 1: xét hiệu A – B. Bước 2: chứng minh A−B≥0 ( hoặc A – B > 0). Sử dụng linh hoạt kiến thức ở phần lý thuyết để chứng minh ở bước 2. Bước 3: kết luận. Bước 4: xét A = B khi nào? Ví dụ 1: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: ab+ba≥2 . Hướng dẫn: Ta có: ab+ba−2=a2+b2−2abab=(a−b)2ab≥0 (do a, b > 0) Vậy ab+ba≥2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. Ví dụ 2: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý, chứng minh rằng: a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca . Lời giải: Xét biểu thức: M=a2+b2+c2–ab+bc+ca . Suy ra: 2M=2a2+2b2+2c2−2ab–2bc–2ca=(a2–2ab+b2)+(b2–2bc+c2)+(c2–2ca+a2)=a–b2+b–c2+c–a2 Vì: a–b2 ≥0; b–c2≥0; c–a2≥0. Do đó a–b2+b–c2+c–a2≥0 . Suy ra 2a2+2b2+2c2−2ab–2bc–2ca≥0 hay a2+b2+c2–ab+bc+ca≥0 Vậy a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Dạng 1.2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si: - Khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si thì các số phải là những số không âm - Bất đẳng thức Cô-si thường được áp dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng minh có tổng và tích - Điều kiện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau - Bất đẳng thức Cô-si còn có hình thức khác thường hay sử dụng: Đối với hai số: x2+y2≥2xy; x+y≥2xy với mọi x;y≥0 Đối với ba số: abc≤a3+b3+c33 ; a+b+c≥3abc3 với mọi a;b;c≥0 Ví dụ 1: Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng: xyz+yzx+zxy≥1x+1y+1z. Lời giải: Vì x, y, z là các số thực dương suy ra xyz,yzx,zxy là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: xyz+yxz≥2.xyz.yxz=2z (1) xyz+zxy≥2.xyz.zxy=2y (2) zxy+yzx≥2.zxy.yzx=2x (3) Cộng các vế của (1), (2) và (3) ta được 2xyz+yzx+zxy≥21x+1y+1z Hay xyz+yzx+zxy≥1x+1y+1z Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. Ví dụ 2: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 1a+4b+9c≥36 ? Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương ta có: 1a+36a≥21a.36a=12 (1) 4b+36b≥24b.36b=24 (2) 9c+36c≥29c.36c=36 (3) Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) ta được 1a+4b+9c+36(a+b+c)≥72⇒1a+4b+9c≥36 (do a + b + c = 1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1a=36a; 4b=36b; 9c=36c và a + b + c = 1 hay a=16; b=13; c=12 . Dạng 1.3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng nhờ bất đẳng thức Vận dụng các tính chất của bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,… để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+16x, x>0 . Lời giải: Ta có: P=x2+16x =x2+8x+8x . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số, ta có: x2+8x+8x≥3x2.8x.8x3=12. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x2=8x=8x⇔x=2 . Ví dụ 2: Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 300 m, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu? Lời giải: Giả sử hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là a, b (0 < a, b < 150) (đơn vị: mét) Từ giả thiết, ta có a + b = 300 : 2 = 150 (m) Diện tích hình chữ nhật là S=a.b (m2) . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a.b≤a+b2⇔a.b≤75⇔ab≤5625⇔S≤5625. Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là 5625 m2 . Dấu bằng xảy ra a=ba+b=150⇔a=b=75. 3. Bài tập tự luyện 3.1 Tự luận: Câu 1: Cho a, b là hai số tùy ý. Chứng minh rằng : a2+b22≥a+b22. Lời giải: Xét hiệu: a2+b22−a+b22 = 2a2+b24−a2+2ab+b24 \= 142a2+2b2−a2−b2−2ab = 14a−b2≥0 Vậy a2+b22≥a+b22. Dấu “=” xảy ra khi a = b. Câu 2: Cho a, b, c, d là các số thực, chứng minh rằng: a2+b2+c2+d2+e2≥ab+c+d+e . Lời giải: Xét hiệu: 4(a2+b2+c2+d2+e2)−4ab+c+d+e \=a2−4ab+4b2+a2−4ac+4c2+a2−4ad+4d2+a2−4ac+4e2
\=a−2b2+a−2c2+a−2d2+a−2e2≥0 Vậy 4(a2+b2+c2+d2+e2)≥4ab+c+d+e suy ra a2+b2+c2+d2+e2≥ab+c+d+e Dấu “=” xảy ra khi a = 2b = 2c = 2d = 2e. Câu 3: Chứng minh rằng: b+cc+aa+b≥8abc ∀a,b,c≥0 . Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a+b≥2abb+c≥2bcc+a≥2ca⇒a+bb+cc+a≥8abc . Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c . Câu 4: Chứng minh rằng: a2+8a2+4≥4 ∀a . Lời giải: Ta có: a2+8=(a2+4)+4≥2 (a2+4).4( theo bất đẳng thức Cô-si) Do đó: a2+8a2+4≥2a2+4.4a2+4=4 Dấu “=” xảy ra ⇔a2+4=4⇔a=0. Câu 5: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 1a2+2bc+1b2+2ac+1c2+2ab≥9 (1) Hướng dẫn: Đặt x = a2+2bc ; y = b2+2ac ; z = c2+2ab ( do a, b, c > 0 nên x, y, z > 0) Ta có: x+y+z=a+b+c2=1 Với x + y + z = 1 và x, y, z > 0, theo bất đẳng thức Cô-si cho 3 số ta có: x+y+z≥ 3.xyz3 và 1x+1y+1z≥ 3.1xyz3 ⇒x+y+z.1x+1y+1z≥9 Suy ra 1x+1y+1z≥9 hay 1a2+2bc+1b2+2ac+1c2+2ab≥9 . Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=4x4−3x2+9x2 ; x Lời giải: Xét hàm số y=4x4−3x2+9x2=4x2+9x2−3 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 4x2+9x2≥24x2.9x2 =12 ⇒y≥9 . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y=4x4−3x2+9x2 là 9 khi 4x2=9x2⇔x2=32⇔x=±62 . Câu 7: Cho x≥2 . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số fx=x−2x . Lời giải: Ta có fx≥0 và fx2=x−2x2=1x−2x2=18−21x−142≤18⇒0≤fx≤122=24 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 24 đạt được khi x=4 Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y=6−2x+3+2x . Lời giải: Tập xác định của hàm số D=−32;3 . Ta thấy y>0 ∀x∈−32;3 . Có y2=9+26−2x3+2x≥9 ∀x∈−32;3 . Suy ra y≥3 ; ∀x∈−32;3. Dấu bằng xảy ra khi x=−32x=3 . Vậy Min yx∈−32;3=3 . Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: 26−2x3+2x≤6−2x+3+2x=9 với ∀x∈−32;3. Suy ra y2≤18,∀x∈−32;3⇒y≤32,∀x∈−32;3. Dấu bằng xảy ra khi 6−2x=3+2x⇔x=34 . Vậy Max yx∈−32;3=32 . Câu 9: Cho các số thực a, b thỏa mãn ab>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a2b2+b2a2−2ab−2ba−1 . Lời giải: Ta có: P=a2b2+b2a2−2ab−2ba−1 \=a2b2−2ab+1+b2a2−2ba+1−3 \=ab−12+ba−12−3≥−3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab=1ba=1⇔a=b≠0. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -3 khi ( ). Câu 10: Người ta dùng 100 m rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh vườn để có thể rào được? Lời giải: Đặt cạnh của hình chữ nhật lần lượt là x, y (x, y > 0; y là cạnh của bức tường). Ta có: 2x + y = 100 . Diện tích hình chữ nhật là : S=xy=2.x.y2≤Cosi2.x+y222=182x+y2=181002=1250. Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là 1250m2 khi x=y2⇔y=2x⇒x=25 m ; y=50m . 3.2 Trắc nghiệm: Câu 1: Cho các bất đẳng thức a > b và c > d. Bất đẳng thức nào sau đây đúng Lời giải: Chọn B. Theo tính chất bất đẳng thức, a>bc>d⇔a+c>b+d . Câu 2: Suy luận nào sau đây đúng? Hướng dẫn Chọn A. a>b>0c>d>0⇒ac>bd đúng theo tính chất nhân hai bất đẳng thức dương cùng chiều. Câu 3: Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a? Hướng dẫn Chọn D. Ta có 6+a>3+a⇔6+a−3−a>0 ⇔3>0 đúng với mọi số thực a. Câu 4: Cho a, b là các số thực bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Hướng dẫn Chọn D. Các mệnh đề A, B, C đúng. Mệnh đề D sai. Ta có phản ví dụ: −2>−5 nhưng −22=4<25=−52. Câu 5: Cho a > b khẳng định nào sau đây là đúng? Hướng dẫn Chọn C. Đáp án A sai ví dụ 2>0⇒2.2>2.0 Đáp án B sai với a = 3, b = 2, c = -2. Đáp án C đúng vì −a<−b⇔a>b. Đáp án D sai khi c≤0. Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Hướng dẫn Chọn C. Các đáp án A, B đều đúng theo tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đáp án D đúng theo bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm a và b. Đáp án C sai khi c < 0 (vì khi nhân 2 vế của một bất đẳng thức với một số âm thì ta được bất đẳng thức mới đổi chiều bất đẳng thức đã cho). Câu 7: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a + b = 4. Khẳng định nào sau đây đúng? Hướng dẫn Chọn C. Với mọi số thực a và b ta luôn có: a.b≤a+b24⇔a.b≤4. Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=2. Câu 8: Gi2−2á trị nhỏ nhất của hàm số fx=2x+3x với x > 0 là: Hướng dẫn Chọn B. Theo bất đẳng thức Cô-si ta có 2x+3x≥26 suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng 26 . Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x−2+4−x . Hướng dẫn Chọn B. A=x−2+4−x có tập xác định D=2; 4 . Ta có: A2=2+2x−24−x≥2⇒A≥2 , dấu bằng xảy ra khi x = 2 hoặc x = 4. Câu 10: Cho các mệnh đề sau ab+ba≥2 I ; ab+bc+ca≥3 II ; 1a+1b+1c≥9a+b+c III Với mọi giá trị của a, b, c dương ta có: Hướng dẫn Chọn D. Với mọi a, b, c dương ta luôn có: ab+ba≥2ab.ba⇔ab+ba≥2 , dấu bằng xảy ra khi a = b. Vậy (I) đúng. ab+bc+ca≥3ab.bc.ca3⇔ab+bc+ca≥3 , dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy (II) đúng. a+b+c.1a+1b+1c≥3abc3.31abc3=9⇒1a+1b+1c≥9a+b+c, dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy (III) đúng. Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác: Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới: Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
