Cach bài toán về tìm già trị của tích vecto năm 2024

Tài liệu gồm 144 trang tuyển chọn các bài tập vận dụng cao có lời giải chi tiết chuyên đề vectơ, tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng trong chương trình Hình học 10 chương 1 – 2.

Các bài toán trong tài liệu được phân dạng thành 6 vấn đề: + Vấn đề 1: Biểu diễn véctơ. + Vấn đề 2: Ba điểm thẳng hàng. + Vấn đề 3: Quỹ tích. + Vấn đề 4: Tỉ lệ. + Vấn đề 5: Min – Max. + Vấn đề 6: Tích vô hướng.

• Vectơ

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

Tài liệu gồm 78 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương, phân dạng và tuyển chọn các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết chủ đề vectơ trong chương trình Hình học 10 chương 1.

Mục lục tài liệu các dạng toán vectơ thường gặp – Nguyễn Bảo Vương: CHỦ ĐỀ 1. VÉCTƠ. Phần A. Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm. Dạng toán 1. Các bài toán về khái niệm véctơ. Dạng toán 2. Chứng minh đẳng thức véctơ. Dạng toán 3. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. Dạng toán 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. Dạng toán 5. Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Dạng toán 6. Xác định và tính độ lớn véctơ. Phần B. Đáp án và lời giải chi tiết. Dạng toán 1. Các bài toán về khái niệm véctơ. Dạng toán 2. Chứng minh đẳng thức véctơ. Dạng toán 3. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. Dạng toán 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện. Dạng toán 5. Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Dạng toán 6. Xác định và tính độ lớn véctơ. [ads] CHỦ ĐỀ 2. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. Phần A. Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm. Dạng toán 1. Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên trục để giải một số bài toán. Dạng toán 2. Tọa độ vectơ. + Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để giải toán. + Điều kiện hai véc tơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau. + Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Dạng toán 3. Tọa độ điểm. + Xác định tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, tọa độ điểm đối xứng. + Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. + Một số bài toán giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa véctơ. Phần B. Đáp án và lời giải chi tiết. Dạng toán 1. Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên trục để giải một số bài toán. Dạng toán 2. Tọa độ vectơ. + Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để giải toán. + Điều kiện hai véc tơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau. + Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Dạng toán 3. Tọa độ điểm. + Xác định tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, tọa độ điểm đối xứng. + Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. + Một số bài toán giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa véctơ.

• Vectơ

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Tích của vectơ với một số là kiến thức hình học quan trọng nằm trong chương trình toán lớp 10. Hãy cùng VUIHOC tìm hiểu lý thuyết, làm quen với các dạng bài tập tích của vectơ thường gặp để đạt điểm cao trong các đề kiểm tra sắp tới nhé!

1. Lý thuyết cơ bản về tích vectơ với một số

1.1. Định nghĩa tích vectơ với một số

Tích của vectơ với một số được định nghĩa như sau:

Cho một số thực $k\neq 0$, vectơ $\vec{a}\neq 0$.

Tích của vectơ $\vec{a}$ với một số thực $k\neq 0$ là một vectơ, kí hiệu k$\vec{a}$, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k>0, ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k<0, vecto k$\vec{a}$ có độ dài bằng $\left | k \right |\left | \vec{a} \right |$.

Quy ước: $0\vec{a}$=0; k$\vec{0}$=$\vec{0}$

1.2. Tính chất tích của vectơ với 1 số

Tích của vectơ với một số có các tính chất:

a, Tính phân phối với phép cộng vectơ:

$k(\vec{m}+\vec{n})=k\vec{m}+k\vec{n}$

b, Tính phân phối với phép cộng các số:

$(a+b)\vec{x}=a\vec{x}+b\vec{x}$

c, Tính kết hợp:

$a(\vec{bc})=(ab)\vec{c}$

d, $1\vec{a}=\vec{a}, (-1)\vec{a}=-\vec{a}$

e, $k\vec{a}=0 \Leftrightarrow k=0$ hoặc $\vec{a}=0$

Áp dụng:

• Nếu E là trung điểm của đoạn thẳng MN thì với mọi điểm I, ta có:

$\vec{IM}+\vec{IN}=2\vec{IE}$

• Nếu U là trọng tâm tam giác NCT thì mọi điểm I ta có:

$\vec{IN}+\vec{IC}+\vec{IT}=3\vec{IU}$

1.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

• Điều kiện cần và đủ để vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b} (\vec{b}\neq 0)$ cùng phương là tồn tại một số k sao cho $\vec{a}=k\vec{b}$.
• Ba điểm phân biệt M, N, O thẳng hàng khi và chỉ khi có số $k\neq 0$ để $\vec{MN}=k\vec{MO}$.

1.4. Cách phân tích một vectơ thành hai vectơ không cùng phương

Cho vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b}$ là hai vectơ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ kđều được biểu diễn một cách duy nhất theo hai vecto $\vec{a},\vec{b}$: $\vec{k}=m\vec{a}+n\vec{b}$, trong đó m, n là các số thực duy nhất.

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

2. Một số bài tập tích của vectơ với một số

2.1. Tính độ dài vectơ

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa và các quy tắc cộng, trừ các vectơ để dựng vectơ chứa tích của vectơ với một số, kết hợp với các định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài vectơ.

Ví dụ 1: Tam giác ABC đều, cạnh a, lấy M là trung điểm cạnh BC. Dựng các vectơ dưới đây và tính độ dài của chúng:

a, $\vec{MA}+\frac{1}{2} \vec{CB}$

b, $\vec{BA}-\frac{1}{2} \vec{BC}$

c, $2\vec{AC}+\frac{11}{2} \vec{AB}$

d, $\frac{5}{2}\vec{MB}+\frac{3}{4}\vec{MA}$

Lời giải:

a, Ta có: $\frac{1}{2}\vec{CB}=\vec{CM}$

Theo quy tắc 3 điểm ta được:

$\frac{1}{2}\vec{CB}+\vec{MA}=\vec{CM}+\vec{MA}=\vec{CA}$

Vậy: $\left | \frac{1}{2} \vec{CB+\vec{MA}}\right |=\left | \vec{CA} \right |=a$

b, Vì $\vec{BM}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ nên theo quy tắc trừ ta có:

$\vec{BA}-\frac{1}{2}\vec{BC}=\vec{BA}-\vec{BM}=\vec{MA}$

Theo định lý Pytago ta có: $MA=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy, $\left | \vec{BA}-\frac{1}{2}BC \right |=\vec{MA}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

c, Lấy điểm N là trung điểm của đoạn AB, Q đối xứng C qua A, P là đỉnh của hình bình hành APQN

d, Lấy điểm K thuộc đoạn AM sao cho $MK=\frac{3}{4}MA$, điểm H thuộc tia $\vec{BM}$ sao cho $\vec{MH}=\frac{5}{2}\vec{MB}$.

Ví dụ 2: Hình vuông ABCD có cạnh a

a, Chứng tỏ rằng $\vec{u}=a\vec{MA}-3\vec{MB}+\vec{MC}-2\vec{MD}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

b, Tính $\left | \vec{u} \right |$.

Lời giải:

a, Giả sử O là tâm hình vuông ABCD. Áp dụng quy tắc 3 điểm ta có:

$\vec{u}=4\vec{MO}+\vec{OA}-3\vec{MO}+\vec{OB}+\vec{MO}+\vec{OC}-2\vec{MO}+\vec{OD}=4\vec{OA}-3\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OD}$

Mà: $\vec{OD}=-\vec{OB}, \vec{OC}=-\vec{OA}$ nên $\vec{u}=3\vec{OA}-\vec{OB}$

\=> Vecto $\vec{u}$ không phụ thuộc vị trí của điểm M.

b, Lấy A' trên $\vec{OA}$ sao cho OA'=3OA

Khi đó: $\vec{OA'}=3\vec{OA}\Rightarrow \vec{u}=\vec{OA'}-\vec{OB}=\vec{BA'}$

Mặt khác:

$\vec{BA'}=\sqrt{OB^{2}+(OA')^{{2}}=\sqrt{OB}{2}+9OA^{2}}=a\sqrt{5}\Rightarrow \vec{u}=a\sqrt{5}$

2.2. Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước

Phương pháp giải:

• Biến đổi đẳng thức vectơ thành dạng $\vec{AN}=\vec{a}$, điểm A và $\vec{a}$ đã biết. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm N sao cho $\vec{AN}=\vec{a}$. Để dựng điểm N, ta lấy điểm A làm gốc, dựng một vectơ bằng vectơ $\vec{a}$, từ đó suy ra được điểm ngọn là điểm N.
• Biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trọng tâm tam giác và trung điểm đoạn thẳng.

Ví du 1: Cho tứ giác ABCD. Tìm các điểm M,N,P sao cho:

a, $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$ b, $\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}$ c, $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Lời giải:

a, Giả sử điểm I là trung điểm đoạn BC

\=> $\vec{MB}+\vec{MC}=2\vec{MI}$

Do đó: $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$

$2\vec{MA}+2\vec{MI}=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{MA}+\vec{MI}=\vec{0}$

\=> Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AI

b, Giả sử K,H là trung điểm của AB, CD ta có:

$\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}\Leftrightarrow 2\vec{NK}+2\vec{NH}=\vec{0}$

\=> Điểm N là trung điểm đoạn thẳng KH

c, Giả sử G là trọng tâm của tam giác BCD ta có:

$\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=3\vec{PG}$

\=> $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Điểm P là trung điểm đoạn thẳng AG.

Ví dụ 2: A, B là hai điểm cho trước, hai số thực $\alpha ,\beta $ thỏa mãn $\alpha+\beta\neq 0$. Chứng tỏ rằng: tồn tại duy nhất một điểm I sao cho $\alpha\vec{IA}+\beta \vec{IB}=\vec{0}$. Từ đó suy ra được $\alpha\vec{MA}+\beta \vec{MB}=(\alpha +\beta )\vec{MI}$ (M là điểm bất kì).

Lời giải:

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

2.3. Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: Áp dụng các kiến thức: tính chất vectơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc phép trừ, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm tam giác để biến đổi.

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Hai điểm I,J là trung điểm của AB, CD. Điểm O là trung điểm của IJ. Chứng minh:

1. $\vec{BD}+\vec{AC}=2\vec{IJ}$

2. $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}=\vec{0}$

3. Với điểm M bất kì: $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=4\vec{MO}$

Lời giải:

Ví dụ 2: Tam giác ABC có AB=c, CA=b, BC=a, G là trọng tâm. Giả sử D,E,F lần lượt là hình chiếu của trọng tâm G lên các cạnh AB, AC,BC. Chứng minh:

$a^{2}\vec{GD}+b^{2}\vec{GE}+c^{2}\vec{GF}=\vec{0}$

Lời giải:

Hy vọng bài viết trên đây đã giúp các em nắm được kiến thức về tích của vectơ với một số. Bên cạnh việc học lý thuyết các em cần luyện tập thêm những dạng bài tập hay gặp để có được bài kiểm tra môn Toán đạt kết quả cao. Ngoài ra các em hãy truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay để học tập tốt hơn nhé!