Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q tâm giác ABC)

Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song

Tham gia khóa họcTỐN 11 tại MOON.VN:Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Bài 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

SA, SD.

a) Chứng minh (OMN) // (SBC).

b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC).

Bài 2: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn

có: IA JB

ID = JC. CMR: IJ ln song song với 1 mặt phẳng cố định.

Bài 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

SA và CD.

a) CMR: (OMN) // (SBC).

b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ // (SAB).

Bài 4: [ĐVH]. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo

AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần

lượt cắt AD, AF tại M′, N′.

a) Chứng minh: (CBE) // (ADF).

b) Chứng minh: (DEF) // (MNN′M′).

c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.

Bài 5: [ĐVH]. Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tam giác ABC nằm trong (P) và đoạn thẳng MN

nằm trong (Q).

a) Tìm giao tuyến của (MAB) và (Q); của (NAC) và (Q).

b) Tìm giao tuyến của (MAB) và (NAC).

LỜI GIẢI BÀI TẬP

Bài 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

SA, SD.

a) Chứng minh (OMN) // (SBC).

b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC).

Lời giải:

Tài liệu bài giảng

(Khóa Tốn 11)

05. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG (P1)

Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song

Tham gia khóa họcTỐN 11 tại MOON.VN:Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !

a) Ta có M và O lần lượt là trung điểm của SA và AC nên

MO//SC suy ra MO/ /

(

)

Mặt khác N và O lần lượt là trung điểm của SD và BD nên

NO//SB suy ra NO/ /

(

)

Do vậy

(

) (

)

b) Ta có P và O lần lượt là trung điểm của AB và AC nên

(

)

/ / / /

OP BC⇒OP SBC _.

Lại có ON / /SB⇒OQ/ /

(

)

Do vậy

(

) (

)

(

)

Bài 2: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho ln

có: IA JB

ID = JC. CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định. Lời giải:

Ta có : IJ là đoạn thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Qua I, dựng IH // CD, H∈AC.

AH IA JB

HC ID JC

⇒ = = _{( Định lí Ta let)}

* Dựng mặt phẳng (P) qua CD và song song với AB . Ta có mặt phẳng (P) cố định. Mặt khác : HJ // AB; AB // (P)

Nên (P) // HJ và (P) // HI ( vì HI // CD) Nên (P) // (HIJ) suy ra : IJ // (P) cố định.

Bài 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

SA và CD.

a) CMR: (OMN) // (SBC).

b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ // (SAB).

Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song

Tham gia khóa họcTỐN 11 tại MOON.VN:Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !

a) Ta có N và O lần lượt là trung điểm của CD và AC nên

NO//BC suy ra ON/ /

(

)

Mặt khác M và O lần lượt là trung điểm của SA và BD nên

MO//SC suy ra MO/ /

(

)

Do vậy

(

) (

)

b) Ta có P và Q lần lượt là trung điểm của BC và AD nên

PQ là đường thẳng các đều AB và CD do vậy J∈PQ

Ta có: PQ/ /

(

)

(

) (

) (

)

Do vậy IJ/ /

(

)

Bài 4: [ĐVH]. Cho hai hình vng ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo

AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M N'; '.

a) Chứng minh: (CBE) // (ADF).

b) Chứng minh: (DEF) // (MNN′M′).

c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.

Lời giải:

a) Ta có : AD // BC; AF // BE mà AF∩AD= A và

BC∩BE=B nên (CBE) // (ADF).

b) Vì MM' // AB nên MM' // DC

''

AM AM

MC M D

⇒ = _; '

'

BN AN

NF = N F

mà AM BN

MC = NF ( vì AC = BF )

nên ' '

' '

AM AN

M D = N F M N' '/ /DF

⇒

Mặt khác : DC // MM';M M' ∩M N' '=M'; DF∩DC=D nên (DEF) // (MNN

′

′

Phần thuận:

Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AB; CF. Nếu M ≡ A⇒N ≡B _{nên I} ≡ _P.

Nếu M ≡C⇒N ≡F_{nên I} ≡ _{Q . Vậy quỹ tích của I là đoạn thẳng PQ.}

Phần đảo: Gọi I ∈ PQ bất kì. Ta chứng minh tồn tại 2 điểm M; N : M∈AC N; ∈BF AM: =BN

và MN nhận I làm trung điểm.

Thật vậy: Xét (CPF). Qua I, dựng đường thẳng //, cắt PC; PF lần lượt tại M1; N1. Qua M1; N1 dựng các đường thẳng song song với AB cắt AC; BF tại M và N.

Áp dụng định lí Ta-let, ta có : 1 1

1 1

PN PM

N F = M C;

1 1

1 1

;

PM AM PN BN

M C = MC N F = NF

+) Suy ra : AM BN

MC = NF

AM BN

AM BN

AC BF

Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song

Tham gia khóa họcTỐN 11 tại MOON.VN:Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia ! +) Suy ra : ∆CMM1 = ∆FNN1 (c-g-c) ⇒MM1=NN1 .

Định lí Talet.Ta có : 1
1

MMIM

IN = NN hay IM = IN (2)

Vậy điểm I thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 5: [ĐVH]. Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tam giác ABC nằm trong (P) và đoạn thẳng MN

nằm trong (Q).

a) Tìm giao tuyến của (MAB) và (Q); của (NAC) và (Q). b) Tìm giao tuyến của (MAB) và (NAC).

Lời giải:

a) Do (P) song song với (Q) nên AB/ /

( )

(

) ( )

Vậy giao tuyến của (MAB) và (Q) là đường thẳng Mx nằm trong (Q) qua M và song song với AB

Tượng tự như trên giao tuyến của (NAC) và (Q) là đường thẳng Ny qua N và song song với AC.

b) Gọi S =BM ∩CN khi đó 2 mặt phẳng (MAB) và

(NAC) có 2 điểm chung là S và A .

Vậy SA là giao tuyến của 2 mặt phẳng (MAB) và

(NAC).