Đặt \[t = \cos x\], bài toán trở thành có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số \[y = \dfrac{{t + 1}}{{10t + m}}\] nghịch biến trên khoảng [0;1].
ĐKXĐ: \[t \ne \dfrac{{ - m}}{{10}}\].
Ta có: \[y' = \dfrac{{m - 10}}{{{{\left[ {10t + m} \right]}^2}}}\].
Để hàm số nghịch biến trên [0;1] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' < 0\\\dfrac{{ - m}}{{10}} \notin \left[ {0;1} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 10 < 0\\\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - m}}{{10}} \le 0\\\dfrac{{ - m}}{{10}} \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 10\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le - 10\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 10\\0 \le m < 10\end{array} \right.\].
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \[y = \left| {3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m} \right|\] có 5 điểm cực trị?
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2}\] ta có
\[\begin{array}{l}f'\left[ x \right] = 12{x^3} - 12{x^2} - 24x\\f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow 12{x^3} - 12{x^2} - 24x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\]
BBT:
Ta có đồ thị \[y = f\left[ x \right]\,\,\left[ C \right]\] như sau:
Để \[y = \left| {3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m} \right|\] có 5 điểm cực trị thì:
TH1: \[\left[ C \right]\] cắt đường thẳng \[y = - m\] tại 2 điểm phân biệt khác cực trị
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m = 0\\ - m = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,[L]\\m = 5\,[TM]\end{array} \right.\]
Copyright © 2022 Hoc247.net
Đơn vị chủ quản: Công Ty Cổ Phần Giáo Dục HỌC 247
GPKD: 0313983319 cấp ngày 26/08/2016 tại Sở KH&ĐT TP.HCM
Giấy phép Mạng Xã Hội số: 638/GP-BTTTT cấp ngày 29/12/2020
Địa chỉ: P401, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Gói VIP thi online tại VietJack [chỉ 200k/1 năm học], luyện tập hơn 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết.
Nâng cấp VIP
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng [P]:6x-2y+z-35=0 và điểm A[-1;3;6]. Gọi A′ là điểm đối xứng của A qua [P]. Tính OA′.
Có bao nhiêu số nguyên dương \[m\] để phương trình \[{e^x} - 1 = m\ln \left[ {mx + 1} \right]\] có hai nghiệm phân biệt trên đoạn \[\left[ { - 10;10} \right]\]?
- \[2201\].
- \[2020\].
- \[2021\].
- \[2202\].
Đáp án A
Chọn A Điều kiện \[mx + 1 > 0\]. Ta có \[{e^x} - 1 = m\ln \left[ {mx + 1} \right]\] \[ \Leftrightarrow {e^x} + mx = mx + 1 + m\ln \left[ {mx + 1} \right]\] \[ \Leftrightarrow {e^x} + mx = {e^{\ln \left[ {mx + 1} \right]}} + m\ln \left[ {mx + 1} \right]\] [1]. Xét hàm số \[f\left[ t \right]={{e}{t}}+mt,t\in \mathbb{R}\]. Có \[{f}'\left[ t \right]={{e}{t}}+m>0,\forall t\in \mathbb{R},m>0\]. Suy ra hàm \[f\left[ t \right]\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\]. Từ [1] ta được \[f\left[ x \right] = f\left[ {\ln \left[ {mx + 1} \right]} \right] \Leftrightarrow x = \ln \left[ {mx + 1} \right] \Leftrightarrow {e^x} = mx + 1\][2]. Ta thấy [2] luôn có một nghiệm \[x = 0 \in \left[ { - 10;10} \right]\]. Do đó ta cần tìm các giá trị của \[m\] để [2] có đúng một nghiệm \[x \ne 0,x \in \left[ { - 10;10} \right]\]. Với \[x \ne 0\] thì [2] \[ \Leftrightarrow \dfrac{{{e^x} - 1}}{x} = m\]. Xét hàm \[g\left[ x \right] = \dfrac{{{e^x} - 1}}{x},x \in \left[ { - 10;10} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\]. Ta có \[g'\left[ x \right] = \dfrac{{x{e^x} - {e^x} + 1}}{{{x^2}}}\]. Đặt \[h\left[ x \right]=x{{e}{x}}-{{e}{x}}+1,x\in \mathbb{R}\]. Có \[h'\left[ x \right] = x{e^x},h'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow x = 0\]. Ta thấy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left[ x \right] = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } h\left[ x \right] = 1,h\left[ 0 \right] = 0\]. Bảng biến thiên của hàm \[h\left[ x \right]\] như sau