Công thức tính tổng các số tự nhiên đầu tiên là gì?

Bốn tổng riêng đầu tiên của chuỗi 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Parabola là tiệm cận được làm nhẵn của chúng; . [1]

Chuỗi vô hạn có số hạng là các số tự nhiên 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ là chuỗi phân kỳ. Tổng riêng phần thứ n của chuỗi là số tam giác

∑k=1nk=n(n+1)2,{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}} . Vì dãy các tổng không hội tụ đến giới hạn hữu hạn nên chuỗi không có tổng.

tăng không giới hạn khi n tiến đến vô cùng. Vì dãy các tổng không hội tụ đến giới hạn hữu hạn nên chuỗi không có tổng

Mặc dù thoạt nhìn, chuỗi dường như không có bất kỳ giá trị ý nghĩa nào, nhưng nó có thể được vận dụng để mang lại một số kết quả thú vị về mặt toán học. Ví dụ, nhiều phương pháp tính tổng được sử dụng trong toán học để gán các giá trị số thậm chí cho một chuỗi phân kỳ. Đặc biệt, các phương pháp chính quy hóa hàm zeta và phép tính tổng Ramanujan gán cho chuỗi một giá trị −+1/12, được biểu thị bằng một công thức nổi tiếng[2]

1+2+3+4+⋯=−112,{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}},}

where the left-hand side has to be interpreted as being the value obtained by using one of the aforementioned summation methods and not as the sum of an infinite series in its usual meaning. These methods have applications in other fields such as complex analysis, quantum field theory, and string theory.[3]

Trong một chuyên khảo về lý thuyết moonshine, nhà toán học Terry Gannon của Đại học Alberta gọi phương trình này là "một trong những công thức đáng chú ý nhất trong khoa học". [4]

Tổng một phần [ chỉnh sửa ]

Sáu số tam giác đầu tiên

Tổng riêng của chuỗi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ là 1, 3, 6, 10, 15, v.v. Tổng một phần thứ n được đưa ra bởi một công thức đơn giản

∑k=1nk=n(n+1)2. {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}. }

Phương trình này đã được những người theo chủ nghĩa Pythagore biết đến từ thế kỷ thứ sáu trước Công nguyên. [5] Các số dạng này được gọi là số tam giác, vì chúng có thể sắp xếp thành một tam giác đều.

Dãy vô hạn các số tam giác phân kỳ đến +∞, do đó, theo định nghĩa, chuỗi vô hạn 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ cũng phân kỳ đến +∞. Sự khác biệt là một hệ quả đơn giản của hình thức của chuỗi. các số hạng không tiến tới 0, vì vậy chuỗi phân kỳ theo số hạng

Tính tổng hợp [ chỉnh sửa ]

Trong số các chuỗi phân kỳ cổ điển, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ tương đối khó thao tác thành một giá trị hữu hạn. Nhiều phương pháp tính tổng được sử dụng để gán các giá trị số cho các chuỗi phân kỳ, một số phương pháp mạnh hơn các phương pháp khác. Ví dụ, phép tổng Cesàro là một phương pháp nổi tiếng tính tổng chuỗi Grandi, chuỗi phân kỳ nhẹ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, đến 1/2. Phép cộng Abel là một phương pháp hiệu quả hơn, không chỉ tính tổng các chuỗi của Grandi đến 1/2 mà còn tính tổng các chuỗi phức tạp hơn 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ đến 1/4

Không giống như chuỗi trên, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ không thể tổng hợp được Cesàro cũng như không thể tổng hợp được Abel. Các phương pháp đó hoạt động trên chuỗi phân kỳ dao động, nhưng chúng không thể tạo ra câu trả lời hữu hạn cho chuỗi phân kỳ tới +∞. Hầu hết các định nghĩa cơ bản hơn về tổng của một chuỗi phân kỳ đều ổn định và tuyến tính, và bất kỳ phương pháp nào vừa ổn định vừa tuyến tính đều không thể tính tổng 1 + 2 + 3 + ⋯ thành một giá trị hữu hạn; . Cần có các phương pháp nâng cao hơn, chẳng hạn như chuẩn hóa hàm zeta hoặc tổng kết Ramanujan. Cũng có thể tranh luận về giá trị của −+1/12 bằng cách sử dụng một số kinh nghiệm sơ bộ liên quan đến các phương pháp này

Heuristic [ chỉnh sửa ]

Đoạn văn từ cuốn sổ tay đầu tiên của Ramanujan mô tả "hằng số" của bộ truyện

Srinivasa Ramanujan trình bày hai dẫn xuất của "1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −+1/12" trong chương 8 của cuốn sổ tay đầu tiên của ông. [7][8][9] Việc phái sinh đơn giản hơn, ít nghiêm ngặt hơn tiến hành theo hai bước, như sau

Thông tin chi tiết quan trọng đầu tiên là chuỗi số dương 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ gần giống với chuỗi xen kẽ 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯. Sê-ri thứ hai cũng khác nhau, nhưng nó dễ làm việc hơn nhiều; . [10]

Để biến đổi chuỗi 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ thành 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯, ta có thể trừ 4 ở số hạng thứ hai, 8 ở số hạng thứ tư, 12 ở số hạng thứ sáu, v.v. Tổng số bị trừ là 4 + 8 + 12 + 16 + ⋯ gấp 4 lần dãy ban đầu. Những mối quan hệ này có thể được thể hiện bằng cách sử dụng đại số. Bất kể "tổng" của chuỗi có thể là gì, hãy gọi nó là c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Sau đó nhân phương trình này với 4 và trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất

c=1+2+3+4+5+6+⋯4c=4+8+12+⋯c−4c=1−2+3−4+5−6+⋯{\displaystyle { . (Có thể thấy điều này bằng cách đánh đồng 1/1 + x với tổng xen kẽ của các lũy thừa không âm của x, rồi lấy đạo hàm và phủ định cả hai vế của phương trình. ) Theo đó, Ramanujan viết

The second key insight is that the alternating series 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ is the formal power series expansion of the function 1/(1 + x)2 but with x defined as 1. (This can be seen by equating 1/1 + x to the alternating sum of the nonnegative powers of x, and then differentiating and negating both sides of the equation.) Accordingly, Ramanujan writes

−3c=1−2+3−4+⋯=1(1+1)2=14. {\displaystyle -3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}. }

Chia cả hai vế cho −3, ta được c = −+1/12.

Nói chung, sẽ không chính xác khi điều khiển các chuỗi vô hạn như thể chúng là các tổng hữu hạn. Ví dụ: nếu các số 0 được chèn vào các vị trí tùy ý của một chuỗi phân kỳ, có thể dẫn đến các kết quả không tự nhất quán, chưa nói đến nhất quán với các phương pháp khác. Cụ thể, bước 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + ⋯ không được chứng minh chỉ bằng luật đơn vị cộng. Đối với một ví dụ cực đoan, việc thêm một số 0 vào trước chuỗi có thể dẫn đến một kết quả khác. [1]

Một cách để khắc phục tình trạng này và hạn chế những vị trí có thể chèn số 0 là theo dõi từng thuật ngữ trong chuỗi bằng cách gắn một phụ thuộc vào một hàm nào đó. [11] Trong dãy số 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, mỗi số hạng n chỉ là một con số. Nếu thuật ngữ n được thăng cấp thành hàm n−s, trong đó s là một biến phức tạp, thì người ta có thể đảm bảo rằng chỉ các thuật ngữ giống nhau được thêm vào. Chuỗi kết quả có thể được thao tác theo cách nghiêm ngặt hơn và biến s có thể được đặt thành −1 sau đó. Việc thực hiện chiến lược này được gọi là chính quy hóa chức năng zeta

Chính quy hóa chức năng Zeta[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị của ζ(s). Với s > 1, chuỗi hội tụ và ζ(s) > 1. Tiếp tục phân tích xung quanh cực tại s = 1 dẫn đến một vùng giá trị âm, bao gồm ζ(−1) = −+1/12

Trong chuẩn hóa hàm zeta, chuỗi ∑n=1∞n{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }n}

được thay thế bằng chuỗi . Sê-ri thứ hai là một ví dụ về sê-ri Dirichlet. Khi phần thực của s lớn hơn 1, chuỗi Dirichlet hội tụ và tổng của nó là hàm Riemann zeta ζ(s). Mặt khác, chuỗi Dirichlet phân kỳ khi phần thực của s nhỏ hơn hoặc bằng 1, do đó, đặc biệt, chuỗi 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ do đặt s = –1 không hội tụ. Lợi ích của việc giới thiệu hàm Riemann zeta là nó có thể được xác định cho các giá trị khác của s bằng cách tiếp tục giải tích. Khi đó người ta có thể định nghĩa tổng chuẩn hóa zeta của 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ là ζ(−1). . The latter series is an example of a Dirichlet series. When the real part of s is greater than 1, the Dirichlet series converges, and its sum is the Riemann zeta function ζ(s). On the other hand, the Dirichlet series diverges when the real part of s is less than or equal to 1, so, in particular, the series 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ that results from setting s = –1 does not converge. The benefit of introducing the Riemann zeta function is that it can be defined for other values of s by analytic continuation. One can then define the zeta-regularized sum of 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ to be ζ(−1).

Từ điểm này, có một số cách để chứng minh rằng ζ(−1) = −+1/12. Một phương pháp, theo lập luận của Euler,[12] sử dụng mối quan hệ giữa hàm Riemann zeta và hàm Dirichlet eta η(s). Hàm eta được xác định bởi một chuỗi Dirichlet xen kẽ, vì vậy phương pháp này tương đương với các phương pháp phỏng đoán trước đó. Trường hợp cả hai chuỗi Dirichlet hội tụ, một chuỗi có các đặc điểm

ζ(s)=1−s+2−s+3−s+4−s+5−s+6−s+⋯2×2−sζ(s)=2×2−s+2 . {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}\zeta (s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{ . \end{alignedat}}}

Đơn vị (1−21−s)ζ(s)=η(s){\displaystyle (1-2^{1-s})\zeta . Thay s = −1, ta được −3ζ(−1) = η(−1). Bây giờ, tính toán η(−1) là một nhiệm vụ dễ dàng hơn, vì hàm eta bằng tổng Abel của chuỗi xác định của nó,[13] là giới hạn một phía.

continues to hold when both functions are extended by analytic continuation to include values of s for which the above series diverge. Substituting s = −1, one gets −3ζ(−1) = η(−1). Now, computing η(−1) is an easier task, as the eta function is equal to the Abel sum of its defining series,[13] which is a one-sided limit:

−3ζ(−1)=η(−1)=limx→1−(1−2x+3x2−4x3+⋯)=limx→1−1(1+x)2=14. {\displaystyle -3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\to 1^{-}}\left(1-2x+3x^{2}-4x^{3} . }

Chia cả hai vế cho −3, ta được ζ(−1) = −+1/12.

Chính quy hóa ngưỡng [ chỉnh sửa ]

Chuỗi 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Hành vi tiệm cận của làm mịn. Giao điểm của parabol là −+1/12. [1]

Phương pháp chính quy hóa sử dụng hàm cắt có thể "làm mịn" chuỗi để đạt đến −+1/12. Làm mịn là cầu nối khái niệm giữa chính quy hóa hàm zeta, với sự phụ thuộc vào phân tích phức tạp và tổng kết Ramanujan, với lối tắt đến công thức Euler–Maclaurin. Thay vào đó, phương pháp này hoạt động trực tiếp trên các phép biến đổi bảo thủ của chuỗi, sử dụng các phương pháp từ phân tích thực

Ý tưởng là thay thế chuỗi rời rạc hoạt động kém ∑n=0Nn{\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{N}n}

bằng một

∑n=0∞nf(nN),{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }nf\left({\frac {n}{N}}\right),} . Hàm cắt phải được chuẩn hóa thành f(0) = 1; . Hàm cắt phải có đủ các dẫn xuất giới hạn để làm mịn các nếp nhăn trong chuỗi và nó sẽ giảm dần về 0 nhanh hơn so với chuỗi tăng. Để thuận tiện, người ta có thể yêu cầu f là trơn, bị chặn và được hỗ trợ chặt chẽ. Khi đó người ta có thể chứng minh rằng tổng đã làm trơn này tiệm cận với −+1/12 + CN2, trong đó C là một hằng số phụ thuộc vào f. Hằng số của khai triển tiệm cận không phụ thuộc vào f. nó nhất thiết phải là cùng một giá trị được đưa ra bởi tiếp tục phân tích, −+1/12. [1]

where f is a cutoff function with appropriate properties. The cutoff function must be normalized to f(0) = 1; this is a different normalization from the one used in differential equations. The cutoff function should have enough bounded derivatives to smooth out the wrinkles in the series, and it should decay to 0 faster than the series grows. For convenience, one may require that f is smooth, bounded, and compactly supported. One can then prove that this smoothed sum is asymptotic to −+1/12 + CN2, where C is a constant that depends on f. The constant term of the asymptotic expansion does not depend on f: it is necessarily the same value given by analytic continuation, −+1/12.[1]

Tổng kết Ramanujan[sửa mã nguồn]

Tổng Ramanujan của 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ cũng là −+1/12. Ramanujan đã viết trong bức thư thứ hai gửi G. h. Hardy, ngày 27 tháng 2 năm 1913

"Thưa ông, tôi rất hài lòng khi đọc bức thư ngày 8 tháng 2 năm 1913 của ông. Tôi đã mong đợi câu trả lời từ bạn tương tự như câu trả lời mà một Giáo sư Toán học ở London đã viết yêu cầu tôi nghiên cứu kỹ Dãy vô hạn của Bromwich và không rơi vào cạm bẫy của chuỗi phân kỳ. . Tôi nói với anh ấy rằng tổng của vô số số hạng của dãy. 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −+1/12 theo lý thuyết của tôi. Nếu tôi nói với bạn điều này, bạn sẽ ngay lập tức chỉ ra cho tôi mục tiêu của tôi là nhà thương điên. Tôi mở rộng vấn đề này chỉ đơn giản là để thuyết phục bạn rằng bạn sẽ không thể làm theo các phương pháp chứng minh của tôi nếu tôi chỉ ra các dòng mà tôi tiến hành trong một lá thư. . “[14]

Tính tổng Ramanujan là một phương pháp để tách biệt hằng số trong công thức Euler–Maclaurin cho tổng từng phần của một chuỗi. Đối với hàm f, tổng Ramanujan cổ điển của chuỗi ∑k=1∞f(k){\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)}