Cực trị hình học là gì

1. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC CỰCTRỊHÌNHHỌC A- Phương pháp giải bài toán cực trị hình học. 1­Dạngchungcủabàitoáncựctrịhìnhhọc: Trongtấtcảcáchìnhcóchungmộttínhchất,tìmnhữnghìnhmàmộtđại lượngnàođó[độdàiđoạnthẳng,sốđogóc,sốđodiệntích]cógiátrị lớn nhấthoặcgiátrịnhỏnhất.vàcóthểđượcchodướicácdạng: a]Bàitoánvềdựnghình. Vídụ:Chođườngtròn[O]vàđiểmPnằmtrongđườngtròn,xácđịnhvịtrícủa dâyđiquađiểmPsaochodâyđócóđộdàinhỏnhất. b]Bàitoánvểchứngminh. Vídụ:ChứngminhrằngtrongcácdâyđiquađiểmPtrongmộtđườngtròn[O], dâyvuônggócvớiOPcóđộdàinhỏnhất. c]Bàitoánvềtínhtoán. Vídụ:Chođườngtròn[O;R]vàđiểmPnằmtrongđườngtròncóOP=h,Tính độdàinhỏnhấtcủadâyđiquaP. 2­Hướnggiảibàitoáncựctrịhìnhhọc: a]KhitìmvịtrícủahìnhHtrênmiềnDsaochobiểuthứcfcógiátrịlớnnhấtta phảichứngtỏđược: +VớimọivịtrícủahìnhHtrênmiềnDthìfm[mlàhằngsố] +XácđịnhvịtrícủahìnhHtrênmiềnDsaochof=m b]KhitìmvịtrícủahìnhHtrênmiềnDsaochobiểuthứcfcógiátrịnhỏnhấtta phảichứngtỏđược: +VớimọivịtrícủahìnhHtrênmiềnDthìfm[mlàhằngsố] +XácđịnhvịtrícủahìnhHtrênmiềnDđểf=m 3­Cáchtrìnhbàylờigiảibàitoáncựctrịhìnhhọc. +Cách2:Trongcáchìnhcótínhchấtcủađề bài,chỉ ramộthìnhrồichứng minhmọihìnhkhácđềucógiátrị củađạilượngphảitìmcựctrị nhỏ hơn[hoặc lớnhơn]giátrịcủađạilượngđócủahìnhđãchỉra. 1
2. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC +Cách2:Biếnđổitươngđươngđiềukiệnđểđạilượngnàyđạtcựctrịbởi đạilượngkhácđạtcựctrịchođếnkhitrảlờiđượccâuhỏimàđềbàiyêucầu. Vídụ:Chođườngtròn[O]vàđiểmPnằmtrongđườngtròn[Pkhôngtrùngvới O].XácđịnhvịtrícủadâyđiquađiểmPsaochodâyđócóđộdàinhỏnhất. Giải: +Cách1: GọiABlàdâyvuônggócvớiOPtạiP,vàdâyCDlàdâybấtkỳđiquaPvà khôngtrùngvớiAB[h.1]. KẻOH CD. C OHPvuôngtạiH OHAB O NhưvậytrongtấtcảcácdâyđiquaP,dâyvuônggóc H vớiOPtạiPcóđộdàinhỏnhất. A B P D +Cách2: h.1 XétdâyABbấtkỳđiquaP[h.2].KẻOH AB Theoliênhệgiữadâyvàkhoảngcáchđếntâm: ABnhỏnhất OHlớnnhất A TalạicóOHOP O H OH=OP HP DođómaxOH=OP P B KhiđódâyABvuônggócvớiOPtạiP. h.2 B-Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học. 1­ Sửdụngquanhệgiữađườngvuônggóc,đườngxiên,hìnhchiếu. a­Kiếnthứccầnnhớ: A B A K a a b A C h.3 B H C H B h.4 h.5 a1] ABCvuôngtạiA[cóthểsuybiếnthànhđoạnthẳng] ABBC. Dấu=xảyra AC.[h.3] a2][h.4] +AH a AHAB.Dấu=xảyra BH. +AB
3. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC a3][h.5] A,K a;B,H b;a//b;HK a HKAB Dấu=xảyra AKvàBH. b­Cácvídụ: Vídụ1:Trongcáchìnhbìnhhànhcóhaiđườngchéobằng6cmvà8cm,hình nàocódiệntíchlớnnhất?Tínhdiệntíchlớnnhấtđó. Giải: B B C A OH C H O A D D h.6 h.7 XéthìnhbìnhhànhABCDcóAC=8cm;BD=6cm[h.6] GọiOlàgiaođiểmhaiđườngchéo.KẻBH AC. Tacó:SABCD=2SABC=AC.BH TacóAC=8cm,BHBO=3cm.Dođó: SABCD8.3=24[cm2] SABCD=24cm2 BHBO HO BD AC VậymaxSABCD =24cm2 .KhiđóhìnhbìnhhànhABCDlàhìnhthoi [h.7] có diệntích24cm2. Vídụ2:ChohìnhvuôngABCD.TrêncáccạnhAB,BC,CD,DAtalấytheothứ tựcácđiểmE,F,G,HsaochoAE=BF=CG=DH.XácđịnhvịtrícủacácđiểmE, F,G,HsaochotứgiácEFGHcóchuvinhỏnhất. Giải: A E K B HAE= EBF= FCG= GHD HE=EF=FG=GH F EFGHlàhìnhthoi. O ﾷ AHE ﾷ = BEF H ﾷ AHE ﾷ + AEH ﾷ = 900 BEF ﾷ + AEH = 900 ﾷ HEF D C = 900 G EFGHlàhìnhvuông h.8 3
4. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC GọiOlàgiaođiểmcủaACvàEG.TứgiácAECGcóAE=CG,AE//CGnênlà hìnhbìnhhànhsuyraOlàtrungđiểmcủaACvàEG,dođóOlàtâmcủacả hai hìnhvuôngABCDvàEFGH. HOEvuôngcân:HE2=2OE2 HE=OE 2 ChuviEFGH=4HE=4 2 OE.DođóchuviEFGHnhỏnhất OEnhỏnhất KẻOK AB OEOK[OKkhôngđổi] OE=OK EK DođóminOE=OK Như vậy,chuvitứgiácEFGHnhỏ nhấtkhivàchỉ khiE,F,G,Hlàtrungđiểm củaAB,BC,CD,DA. Vídụ 3:ChođoạnthẳngABcóđộ dài2a.Vẽvề mộtphíacủaABcáctiaAx vàByvuônggócvớiAB.QuatrungđiểmcủaMcủaABcóhaiđườngthẳngthay đổiluônvuônggócvớinhauvàcắtAx,BytheothứtựtạiCvàD.xácđịnhvịtrícủa cácđiểmC,DsaochotamgiácMCDcódiệntíchnhỏnhất.Tínhdiệntíchtamgiác đó. x y D Giải: GọiKlàgiaođiểmcủaCMvàDB 12 MA=MB; Aﾷ =B ﾷ = 900 , AMC ﾷ ﾷ = BMK H MAC= MBK MC=MK MặtkhácDM CK C DCKcân D ﾷ 1=Dﾷ 2 KẻMH CD. A B M MHD= MBD MH=MB=a 1 1 1 K SMCD= CD.MH AB.MH= 2a.a=a2 2 2 2 h.9 ﾷ SMCD =a2 CD Ax khiđó AMC =450 ; ﾷ BMD =450. VậyminSMCD=a2.CácđiểmC,DđượcxácđịnhtrênAx;BysaochoAC=BC=a. Vídụ 4:ChotamgiácABCcó Bﾷ làgóctù,điểmDdichuyểntrêncạnhBC. Xácđịnhvị trícủađiểmDsaochotổngcáckhoảngcáchtừ BvàCđếnđường thẳngADcógiátrịlớnnhất. A Giải: GọiSlàdiệntích ABCKhiDdi chuyểntrêncạnhBCtacó: E 4 C H B D h.10 F
5. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC SABD+SACD=S KẻBE AD,CF AD 1 1 AD.BE+ AD.CF=S 2 2 2S BE+CF= AD DođóBE+CFlớnnhất ADnhỏnhất hìnhchiếuHDnhỏnhất ﾷ DoHDHB[do ABD >900]vàHD=HB DB VậyKhiDBthìtổngcáckhoảngcáchtừBvàCđếnADcógiátrịlớnnhất. 2­ Sửdụngquanhệgiữađườngthẳngvàđườnggấpkhúc. a­Kiếnthứccầnnhớ: VớibađiểmA,B,Cbấtkỳtacó:AC+CBAB AC+CB=AB CthuộcđoạnthẳngAB b­Cácvídụ: Vídụ5:Chogóc xOyﾷ vàđiểmAnằmtronggócđó.XácđịnhđiểmBthuộctia Ox,điểmCthuộctiaOysaochoOB=OCvàtổngAB+AClànhỏnhất. Giải: Kẻ tiaOmnằmngoàigócxOysaocho m y ﾷyOm = xOA ﾷ .TrêntiaOmlấyđiểmDsao D choOD=OA.CácđiểmDvàAcốđịnh. OD=OA,OC=OB, COD ﾷ ﾷ = BOA C DOC= AOB CD=AB A DođóAC+AB=AC+CD MàAC+CDAD O B AC+ABAD x h.11 XảyrađẳngthứckhivàchỉkhiC AD Vậymin[AC+AB]=AD.KhiđóClàgiaođiểmcủaADvàOy,BthuộctiaOx saochoOB=OC. Vídụ 6:Chohìnhchữ nhậtABCDvàđiểmEthuộccạnhAD.Xácđịnhvị trí cácđiểmFthuộccạnhAB,GthuộccạnhBC,HthuộccạnhCDsaochotứgiác EFGHcóchuvinhỏnhất. Giải: F A B I A F B I E K G E K G 5 D M M C D H C h.12 H h.13
6. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC GọiI,K,LtheothứtựlàtrungđiểmcủaEF,EG,EH[h.12]. AEFvuôngtạiAcóAIlàtrungtuyến AI=1/2EF CGHvuôngtạiCcóCMlàtrungtuyến CM=1/2GH IKlàđườngtrungbìnhcủa EFG IK=1/2FG KMlàđườngtrungbìnhcủa EGH KM=1/2EH Dođó:chuviEFGH=EF+FG+GH+EH=2[AI+IK+KM+MC] Talạicó:AI+IK+KM+MCAC SuyrachuviEFGH2AC[độdàiACkhôngđổi] ChuviEFGHnhỏnhấtbằng2AC A,I,K,M,Cthẳnghàng. ﾷ Khi đó ta có EH//AC,FG//AC, AEI ﾷ = EAI ﾷ = ADB nên EF//DB , tương tự GH//DB.Suyratứ giácEFGHlàhìnhbìnhhànhcócáccạnhsongsongvớicác đườngchéocủahìnhchữnhậtABCD[h.13]. 3­ Sửdụngcácbấtđẳngthứctrongđườngtròn. a­Kiếnthứccầnnhớ: C D C D C A H B D O B A B C O O B K A A D h.14 h.15 h.16 h.17 a1]ABlàđườngkính,CDlàdâybấtkỳ CDAB[h.14] a2]OH,OKlàcáckhoảngcáchtừtâmđếndâyABvàCD: ABCD OHOK[h.15] ﾷ a3]AB,CDlàcáccungnhỏcủa[O]:ABCD AOB ﾷ COD [h.16] ﾷ a4]AB,CDlàcáccungnhỏcủa[O]:ABCD AB ﾷ [h.17] CD b­Cácvídụ: 6
7. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC Vídụ 7: Chohaiđườngtròn[O]và[O]cắtnhau ở AvàB.mộtcáttuyến chungbấtkỳCBD[BnằmgiữaCvàD]cắtcácđườngtròn[O]và[O]tạiCvàD. XácđịnhvịtrícủacáttuyếnCBDđể ACDcóchuvilớnnhất. Giải: ﾷ = 1 sđ AmB sđ C ﾷ ﾷ = 1 sđ AnB ;sđ D ﾷ A 2 2 D sốđocácgóc ACDkhôngđổi O O ACD có chu vi lớn nhất khi một n m cạnhcủanólớnnhất,chẳnghạnAClàlớn nhất. C D B AClàdâycủađườngtròn[O],dođó AC lớn nhất khi AC là đường kính của C đườngtròn[O],khiđóADlàđườngkính h.18 củađườngtròn[O].CáttuyếnCBDởvịtrí CBDvuônggócvớidâychungAB. Vídụ8:Chođườngtròn[O]vàmộtđiểmPnằmtrongđườngtròn.Xácđịnh dâyABđiquaPsaocho OAB ﾷ cógiátrịlớnnhất. Giải: XéttamgiáccânOAB,góc ở đáy OAB ﾷ lớnnhất nếugócởđỉnh AOB ﾷ nhỏnhất. B ﾷ 1 O AOB = sđ AB ﾷ 2 ] ﾷ Góc AOB nhỏ nhất Cung AB nhỏ nhất dây ﾷ A B H P ABnhỏnhất KhoảngcáchđếntâmOHlớnnhất. TacóOHOP A OH=OP HPnênmaxOH=OP AB OP h.19 SuyradâyABphảixácđịnhlàdâyABvuônggóc vớiOPtạiP. 4­ Sửdụngbấtđẳngthứcvềlũythừabậchai. a­Kiếnthứccầnnhớ: Cácbấtđẳngthứcvềlũythừabậchaiđượcsửdụngdướidạng: A20; A20 Dođóvớimlàhằngsố,tacó: f=A2+mm;minf=mvớiA=0 f= A2+mm;maxf=mvớiA=0 7
8. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC b­Cácvídụ: Vídụ 9:ChohìnhvuôngABCDcócạnhbằng4cm. A x E 4­x B TrêncáccạnhAB,BC,CD,DA,lấytheothứtựcácđiểm E,F,G,HsaochoAE=BF=CG=DH.Tínhđộ dàiAE 4­x F saochotứgiácEFGHcóchuvinhỏnhất. Giải: AHE= BEF= CFG= DGH H HE=EF=FG=GH,HEF=900 HEFGlàhìnhvuông nên chuviEFGHnhỏ nhất C D G khiHEnhỏnhất. ĐặtAE=xthìHA=EB=4­x h.20 HAEvuôngtạiAnên: HE2=AE2+AE2=x2+[4 x]2=2x2 8x+16=2[x 2]2+88 HE= 8 =2 2 x=2 ChuvitứgiácEFGHnhỏnhấtbằng8 2 cm,khiđóAE=2cm. Vídụ10:ChotamgiácvuôngABCcóđộdàicáccạnhgócvuôngAB=6cm, AC=8cm.MlàđiểmdichuyểntrêncạnhhuyềnBC.GọiDvàElàchâncácđường vuônggóckẻtừMđếnABvàAC.TínhdiệntíchlớnnhấtcủatứgiácADME. Giải: ADMElàhìnhchữnhật. A ĐặtAD=xthìME=x x EM CE x CE 4 D 8­x ME//AB = � = � CE = x AB CA 6 8 3 E 4 AE=8 x B C 3 M h.21 4 4 2 Tacó:SADME=AD.AE=x[8 x]=8x x 3 3 4 = [x 3]2+1212 3 2 SADME=12cm x=3 DiệntíchlớnnhấtcủatứgiácADMEbằng12cm2,khiđóDlàtrungđiểmcủa AB,MlàtrungđiểmcủaBCvàElàtrungđiểmcủaAC. 5­ SửdụngbấtđẳngthứcCô­si. a­Kiếnthứccầnnhớ: 8
9. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC x+y BấtđẳngthứcCô­si:Vớix0;y0tacó: xy 2 Dấu=xảyrakhivàchỉkhix=y BấtđẳngthứcCô­sithườngđượcsửdụngdướicácdạngsau: [ x + y] 2 +Dạng1: x + y 2 2 2 xy Dấu=xảyrakhivàchỉkhix=y 2 [ x + y] xy 1 2 +Dạng2: 4 ; [ x + y] 2 xy 4 [ x + y] x 2 + y2 2 1 2 ; [ x + y] 2 x 2 + y2 2 Dấu=xảyrakhivàchỉkhix=y +Dạng3:Vớix0;y0;x+ykhôngđổithìxylớnnhấtkhivàchỉkhix=y +Dạng4:Vớix0;y0;xykhôngđổithìx+ynhỏnhấtkhivàchỉkhix= y b­Cácvídụ: Vídụ11:ChođoạnthẳngAB,điểmMdichuyểntrênđoạnthẳngấy.Vẽcác đườngtròncóđườngkínhMAvàMB.Xácđịnhvị trícủađiểmMđể tổngdiện tíchcủahaihìnhtròncógiátrịnhỏnhất. Giải: ĐặtMA=x,MB=y Tacó:x+y=AB[0
10. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC Dấuđẳngthứcxảyrakhivàchỉkhix=y AB2 Dođómin[S+S]= π. .KhiđóMlàtrungđiểmcủaAB. 8 Vídụ 12:ChođiểmMnằmtrênđoạnthẳngAB.VẽvềmộtphíacủaABcác tiaAxvàByvuônggócvớiAB.QuaMcóhaiđườngthẳngthayđổiluônvuônggóc vớinhauvàcắtAx,BytheothứtựtạiCvàD.XácđịnhvịtrícủacácđiểmC,Dsao chotamgiácMCDcódiệntíchnhỏnhất. Giải: 1 y Tacó:SMCD= MC.MD 2 D x ĐặtMA=a,MB=b ﾷ AMC ﾷ = BDM =α C a b MC= ,MD= cosα sin α 1 ab A a [ B SMCD= M b 2 cosα.sin α h.23 Doa,blàhằngsốnênSMCDnhỏnhất 2sin .cos lớnnhất. Theobấtđẳngthức 2xy x2+y2 tacó: 2 2 2sin .cos sin +cos =1 nên SMCDab SMCD=ab sin =cos sin =sin[900 ] =900 =450 AMCvà BMDvuôngcân. VậyminSMCD=ab.KhiđócácđiểmC,DđượcxácđịnhtrêntiaAx;Bysaocho AC=AM,BD=BM. Vídụ 13: Cho ABC,điểmMdiđộngtrêncạnhBC.QuaMkẻcácđường thẳngsongsongvớiACvàvớiAB,chúngcắtABvàACtheothứtựởDvàE.Xác địnhvịtrícủađiểmMsaochohìnhbìnhhànhADMEcódiệntíchlớnnhất. A Giải: SADME K D SADMElớnnhất lớnnhất SABC H E KẻBK ACcắtMDởH. SADME=MD.HK 1 2 1 B C x M y SABC= AC.BK h.24 2 10
11. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC SADME MD HK = 2. . SABC AC BK ĐặtMB=x,MC=y, MD BM x HK MC y MD//ACtacó: = = ; = = AC BC x + y BK BC x + y xy 1 SADME 2xy 1 Theobấtđẳngthức = . [ x + y] 4 SABC [ x + y ] 2 2 2 Dấuđẳngthứcxảyrakhix=y 1 Vậy maxSADME= SABCkhiđóMlàtrungđiểmcủaBC. 2 Vídụ14:Cho ABCvuôngcâncócạnhhuyềnBC=a.GọiDlàtrungđiểm củaAB.ĐiểmEdichuyểntrêncạnhAC.GọiH,Ktheothứtựlàchâncácđường vuônggóckẻtừD,EđếnBC.TínhdiệntíchlớnnhấtcủahìnhthangDEKH.Khi đóhìnhthangtrởthànhhìnhgì? Giải: Tacó: 2SDEKH=[DH+EK].HK=[BH+KC].HK Mà[BH+KC]+HK=BC=akhôngđổi a Nên[BH+KC].HKlớnnhất BH+KC]=HK= 2 Dođó: 1 a a a2 B maxSDEKH= . . = 2 2 2 8 a H KhiđóđườngcaoHK= suyra: 2 a a a D K KC=BC BHHK=a = 2 2 4 a a DođóDH=HB= ,EK=KC= . 4 4 C A E HìnhthangDEKHlàhìnhchữ nhật,Elàtrung h.25 điểmcủaAC. 6­ Sửdụngtỉsốlượnggiác. a­Kiếnthứccầnnhớ: B Hệthứcgiữacạnhvàgóctrongtamgiácvuông a c 11 A b C h.26
12. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC +b=a.sinB=a.cosC +b=c.tgB=c.cotgC b­Cácvídụ: Vídụ 15:Chứngminhrằngtrongcáctamgiáccâncócùngdiệntíchtamgiác cócạnhđáynhỏhơnlàtamgiáccógócởđỉnhnhỏhơn. Giải: Xétcác tamgiácABCcântạiAcócùng A ﾷ diệntíchS.KẻđườngcaoAH.Đặt BAC = AHCvuôngtạiH,tacó: ﾷ α B HAC = , H C 2 α 1 α h.27 AH=HC.cotg = BC.cotg 2 2 2 1 1 1 α 1 α Dođó:S= BC.AH= BC. BC.cotg = BC2cotg 2 2 2 2 4 2 4S α = 2 S.t g BC= α 2 cot g 2 DoSkhôngđổinên: α α ﾷ BCnhỏ nhất tg nhỏ nhất nhỏ nhất nhỏ nhất BAC nhỏ 2 2 nhất Vídụ 16: Chohìnhchữ nhậtABCD.TrêncáccạnhBC,CDlầnlượtlấycác điểmK,MsaochoBK:KC=4:1,CM:MD=4:1.Tìmtỉsố AB:BCđể số đo ﾷ góc KAM lớnnhất. t gx + t gy [Chocôngthứcbiếnđổitg[x+y]= ] 1 t gx.t gy Giải: Đặt BAK ﾷ ﾷ = x , DAM = y [x+y0] K12 D M C h.28
13. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC BK BK BC 4m tgx= = . = AB BC AB 5 DM DM DC 1 tgy= = . = AD DC AD 5m t gx + t gy �4m 1 �� 4m 1 � 25 �4m 1 � tg[x+y]= = + : 1 . �= � + 1 t gx.t gy � �� �5 5m �� 5 5m � 21 �5 5m � � 4m 1 tg[x+y]nhỏnhất + nhỏnhất 5 5m TheobấtđẳngthứcCô­sitacó: 4m 1 4m 1 4 + 2 . = 5 5m 5 5m 5 4m 1 1 Dấuđẳngthứcxảyra = m= 5 5m 2 1 Vậyx+ynhỏnhấtkhivàchỉkhim= 2 ﾷ Dođó KAM lớnnhấtkhivàchỉkhiAB:BC=2:1 Phần 3: Bài tập ôn luyện Bài1: ChohìnhvuôngABCD.Hãyxácđịnhđườngthẳngdđiquatâmhình vuôngsaochotổngcáckhoảngcáchtừbốnđỉnhcủahìnhvuôngđếnđườngthẳng đólà: a] Lớnnhất d b] Nhỏnhất Hướngdẫn: B B C XéttrườnghợpdcắthaicạnhđốiBCvàAD[h.29] C H Gọimlàtổngcáckhoảngcáchtừ bốnđỉnhhình N vuôngđếnD. M O m=2[AA+BB] A 13 A D D h.29
14. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC GọiM,NlầnlượtlàtrungđiểmcủaABvàAB Suyra:m=4MNdođó: mlớnnhất MNlớnnhất mnhỏnhất MNnhỏnhất a]MN MO mlớnnhất MO d//AB b]kẻMH OB.ChứngminhMNMH MNnhỏnhất NH dBD hoặcdAC. Bài2:Cho ABCvuôngcântạiAcácđiểmD,Etheothứtựdichuyểntrêncác cạnhAB,ACsaochoBD=AE.XácđịnhvịtrícácđiểmD,Esaocho: a] DEcóđộdàinhỏnhất. b] TứgiácBDECcódiệntíchlớnnhất. B Hướngdẫn:[h.30] a]GọiMlàtrungđiểmcủaBC. D ﾷ M BDM= AEM BMD = ﾷAME ﾷ ﾷ I DME = DMA + ﾷAME = DMA ﾷ ﾷ + BMD ﾷ = BMA = 900 GọiIlàtrungđiểmcủaDE. DE=DI+IE=AI+IMAM A E C MinDE=AM IlàtrungđiểmcủaAM h.30 DlàtrungđiểmcủaABvàElàtrungđiểmcủaAC x[a x] b]ĐặtAE=x,AB=AC=athìAD=a x,SADE= 2 SBDECnhỏnhất SADElớnnhất x[a x]lớnnhất Dox+[a x]=akhôngđổinênx[a x]lớnnhất x=a x x=a/2 KhiđóDlàtrungđiểmcủaABvàElàtrungđiểmcủaAC Bài3:Cho ABCvuôngtạiAcóBC=a,diệntíchlàS.Gọimlàtrungđiểm củaBC.HaidườngthẳngthayđổiquaMvàvuônggócvớinhaucắtcáccạnhAB ,ACởD,E.Tìm: a] GiátrịnhỏnhấtcủađoạnthẳngDE. b] Giátrịnhỏnhấtcủadiệntích MDE A Hướngdẫn: D O a][h.31]GọiOlàtrungđiểmcủaDE E TacóOA=OD=OE=OM a B DE=OA+OMAM= M C 2 h.31 14
15. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC minDE=a/2 OlàtrungđiểmcủaAM DlàtrungđiểmcủaABvàElàtrungđiểmcủaAC A b][h.32]KẻMH AB,MK AC D MEMK,MDMH. H K E AC AB S 2SMDE=MD.MEMH.MK= . = 2 2 2 S B C M minSMDE= DHvàEK 4 h.32 Bài4:ChođiểmmdichuyểntrênđoạnthẳngAB.VẽcáctamgiácđềuAMCvà BMDvềmộtphíacủaAB.Xácđịnhvị trícủaMđể tổngdiệntíchhaitamgiác đềutrenlànhỏnhất. Hướngdẫn:[h.33] K GọiKlàgiaođiểmcủaACvàBD. CáctamgiácAMC,BMDđồngdạngvới AKB ĐặtAM=x,BM=y,AB=atacó: D 2 2 S1 �x � S 2 �y � = � �; = � � C S �a � S �a � 2 S1 + S2 x 2 + y 2 [ x + y ] 2 a2 1 1 = = = A B S a2 2a 2 2a 2 2 x M y Dấuđẳngthứcxảyrakhivàchỉkhix=y h.33 1 Dođó:min[S1+S2]= MlàtrungđiểmcủaAB. 2 Bài5:ChotamgiácnhọnABCcócáccạnha,b,ctươngứngđườngcaoAH=H. Hãydựnghìnhchữ nhậtMNPQnộitiếptrongtamgiácABCsaochonócódiện tíchlớnnhất.BiếtM AB;N AC;P,Q BC. Hướngdẫn:[h.34] A GọiIlàgiaođiểmcủaAHvàMN ĐặtNP=x;MN=y;AI=h x h­x S ABC AMN M I N MN AI y hx hx y = � = � y = a. BC AH a h h B C Q H P 15 h.34
16. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC a SMNPQ=xy= .x[h x] h SMNPQlớnnhất x[h x]lớnnhất x+[h x]=hkhôngđổinên x[h x]lớnnhất x=h x x=h/2 KhiđóMNlàđườngtrungbìnhcủa ABC Bài6:Cho ABCvuôngtạiA.TừmộtđiểmInằmtrongtamgiáctakẻIM BC,IN AC,IK AB.TìmvịtrícủaIsaochotổngIM2+IN2+IK2nhỏnhất. Hướngdẫn:[h.35] KẻAH BC,IE AH B ANIK,IMHElàcáchìnhchữnhật. H IK2+IN2=IK2+AK2=AI2AE2 E M IM=EH nênIK2+IN2+IM2=AI2+EH2AE2+EH2 K I [ x + y] 2 AH 2 A C ĐặtAE=x,EH=ytacó: x 2 + y 2 = N 2 2 AH 2 h.35 IK2+IN2+IM2 . 2 Dấu=xảyrakhiIlàtrungđiểmcủađườngcaoAH. Bài7:ChotamgiácnhọnABC.TừmộtđiểmInằmtrongtamgiáctakẻ IM BC,IN AC,IK AB.ĐặtAK=x;BM=y;CN A =z. n x TìmvịtrícủaIsaochotổngx2+y2+z2nhỏnhất. K N K I z k K Hướngdẫn:[h.36] ĐặtBK=k,CM=m,AN=n, B y C M m BC=a,AC=b,AB=c. h.36 x2+y2+z2= =[IA2 IK2]+[IB2 IM2]+[IC2 IN2] =[IA2 IN2]+[IB2 IK2]+[IC2 IM2]=n2+k2+m2 2[x2+y2+z2]=x2+y2+z2+n2+k2+m2 =[x2+k2]+[y2+m2]+[z2+n2] x +k [ x + k] y +m [ y + m] 2 2 2 2 AB 2 c 2 2 2 BC 2 a 2 = = = = 2 2 2 2 2 2 16
17. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC +n [ z + n] 2 z2 2 AC 2 b 2 = = 2 2 2 a +b +c 2 2 2 x2+y2+z2 . 4 2 2 2 a2 + b2 + c2 min[x +y +z ]= x=k,y=m,z=n. 4 Ilàgiaođiểmcủacácđườngtrungtrựccủa ABC. Bài8: ChonửađườngtròncóđườngkínhAB=10cm.MộtdâyCDcóđộ dài 6cmcóhaiđầudichuyểntrênnửađườngtròn.GọiEvàFtheothứ tự làhình chiếucủaAvàBtrênCD.TínhdiệntíchlớnnhấtcủatứgiácABFE. F Hướngdẫn:[h.37] D H KẻOH CD,tatínhđượcOH=4cm E C SABFE=1/2[AE+BF].EF =OH.EF OH.AB=4.10=40 maxSABEF=40cm2 A B O EF//AB,khiđóOH AB h.37 Bài9:ChohìnhvuôngABCDcạnha.VẽcungBDtâmAbánkínha[nằmtrong hìnhvuông].mộttiếptuyếnbấtkỳvớicungđócAắtBC,CDtheothứtựB ởMvà N.TínhđộdàinhỏnhấtcủaMN. Hướngdẫn:[h.38] M ĐặtCM=m,CN=n,MN=x m+n+x=2CD=2avàm2+n2=x2 H m Dođó:x2=m2+n2 [ m + n] 2 2 2 2 2x [2a x] x 2 2a x D n C N 2a h.38 x = 2a[ 2 1] 2 +1 minMN=2a [ ] 2 1 m=n.KhiđótiếptuyếnMN//BD,AMlàtiaphângiác ﾷ của BAC ﾷ ,ANlàphângiáccủa DAC 17
18. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC Bài10: Chohaiđườngtròn[O]và[O]tiếpxúcngoàitạiA.QuaAvẽ haitia vuônggócvớinhau,chúngcắtcácđườngtròn[O],[O]lầnlượttạiBvàC.Xác địnhvịtrícủacáctiađóđể ABCcódiệntíchlớnnhất. Hướngdẫn:[h.39] B KẻOD AB;OE ACtacó: 1 1 C SABC= AB.AC= .2AD.2AE=2.AD.AE D E 2 2 ĐặtOA=R;OA=r; ﾷAOD = O ﾷ ' AE = α O R A r O' AD=Rsin ;AE=rcos SABC=Rr.2sin .cos 2sin .cos sin2 +cos2 =1 SABC Rr h.39 Dođó: maxSABC=Rr sin =cos sin =sin[900 ] =900 =450. VậynếutavẽcáctiaAB,AClầnlượttạovớicáctiaAO,AOthànhcácgóc ﾷ OAB =O ﾷ ' AC = 450 thì ABCcódiệntíchlớnnhất. Bài11: Chođườngtròn[O;R]đườngkínhBC ,Alàmộtđiểmdiđộngtrên đườngtròn.VẽtamgiácđềuABMcóAvàMnằmcùngphíađốivớiBC.GọiH làchânđườngvuônggóckẻtừCxuốngMB.GọiD,E,F,Gtheoth ứt ựlàtrung điểmcủaOC,CM,MH,OH.Xácđịnhvị trícủađiểmAđể diệntíchtứ giác DEFGđạtgiátrịlớnnhất. Hướngdẫn:[h.40] DEFGlàhìnhbìnhhành. M A KẻOI FH,tacóOIlàđườngtrungbìnhcủa E BHCnênOI=½HC=GD ﾷ MOlàđườngtrungtrựccủaABnên IMO = 300 B O D C OI=½OM GD=½OM F MàED=½OM EG=GD I G DEFGlàhìnhthoi ﾷ ﾷ ﾷ H HFG = HMO = 300 EFG = 600 EFGđều h.40 18
19. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC 2 2 2 2 �HC � �BC � EF 3 EF 3 � � 3 � � 3 R2 3 SDEFG=2SEFG=2. = = � 2 � �2 � = 4 2 2 2 2 2 R 3 ﾷ maxS= HB MBC = 900 ﾷABC = 300 AC=R. 2 Bài12: Cho ABCnộitiếpđườngtròn[O]Dlàđiểmbấtkỳ thuộccungBC khôngchứaAvàkhôngtrùngvớiB,C.GọiH,I,Ktheothứ tựlàchâncácđường vuônggóckẻtừDđếncácđườngthẳngBC,AC,AB.ĐặtBC=a,AC=b,AB =c,DH=x,DI=y,DK=z. b c a a] Chứngminhrằng: + = y z x a b c b] TìmvịtrícủađiểmDđểtổng + + nhỏnhất. x y z Hướngdẫn:[h.41] A ﾷ a]LấyEtrênBCsaocho CDE = ﾷADB b CDEđồngdạngvới ADB c DH CE x CE c CE O I = � = � = H E DK AB z c z x B C x y Tươngtự BDEđồngdạngvới ADC K DH BE x BE b BE z = � = � = DI AC y b y x DM b c BE + CE a h.41 + = = y z x x a b c a a 2a a b] + + = + = DođóSnhỏ nhất nhỏ nhất xlớnnhất x y z x x x x DM[MlàđiểmchínhgiữacủacungBCkhôngchứaA] Bài13: Cho ABCnhọn,điểmMdichuyểntrên A cạnhBC.GọiP,QlàhìnhchiếucủaMtrênAB, AC.XácđịnhvịtrícủađiểmMđểPQcóđộdàinhỏ nhất. O Hướngdẫn:[h.42] Tứ giácAPMQlàtứ giácnộitiếp.GọiOlàtâm P Q đườngtrònngoạitiếptứgiácAPMQ. H KẻOH PQ.Đặt BACﾷ ﾷ = thì POH = B C M PQ=2PH=2.OPsin =AMsin h.42 19
20. CHUYÊNĐỀ:CỰCTRỊHÌNHHỌC Do khôngdổinên PQnhỏnhất AMnhỏnhất AM BC. Bài14:ChođoạnthẳngABvàmộtđiểmCtrênAB.Vẽtrêncùngmộtnửamặt phẳngbờABcácnửađườngtròncóđườngkínhAB,AC,BC.Xácđịnhvịtrícủa điểmCtrênđoạnABđể diệntíchphầngiớihạnbởibanửađườngtrònđódạt giátrịlớnnhất. Hướngdẫn:[h.43] Gọi[O1;r1];[O2;r2];[O3;r3]làcácđườngtròncóđườngkínhlàAb,AC,BC ĐặtAB=2a,AC=2xthìr1=a,r2=xSuyraBC=2a 2xvàr3=a x GọiSlàdiệntíchgiớihạnbởibađườngtròn π r12 �π r22 π r32 � π a 2 π x 2 π [ a x ] 2 Tacó: S = � + �= = π x[ a x] 2 �2 2 � 2 2 2 Slớnnhất x[a x]lớnnhất Mặtkhácx+[a x]=akhôngđổinên a x[a x]lớnnhất x=a x x= CO1 2 πa 2 LúcđótacóS= A O2 C O1 O3 B 4 h.43 h.42 Bài15:Chođườngtròn[O;R].Trongđườngtròn[O] vẽhaiđườngtròn[O1]và[O2]tiếpxúcngoàinhauvàtiếpxúctrongvới[O]trong đóbánkínhđườngtròn[O2]gấpđôibánkínhđườngtròn[O1].Tìmgiátrị nhỏ nhấtcủadiệntíchphầnhìnhtròn[O]nằmngoàicáchìnhtròn[O1]và[O2]. Hướngdẫn: Gọixlàbánkínhđườngtròn[O1]Khiđó2xlàbánkính đườngtròn[O2][h.44] O2 Xét OO1O2tacó:O1O2 OO1+OO2 O R 3x [R x]+[R 2x] 6x 2R x O1 3 Gọi S là phần diện tích hình tròn [O] nằm ngoài các đườngtròn[O1]và[O2],tacó: h.44 S= π R π x π 4x = π [ R 5x ] 2 2 2 2 2 R R2 4π R 2 Dox nênx2 S ; 3 9 9 4π R 2 R minS= x= 9 3 O1 O O2 20 h.45

Video liên quan