Đề bài
Cho tam giác \[ABC\], các đường cao \[BD\] và \[CE\]. Chứng minh rằng:
a] Bốn điểm \[B,\ E,\ D,\ C\] cùng thuộc một đường tròn.
b] \[DE < BC\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Sử dụng tính chất: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh đó để chứng minh ba đỉnh của tam giác vuông nằm trên đường tròn đường kính là cạnh huyền.
b] Sử dụng định lí: Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Lời giải chi tiết
a] Gọi \[O\] là trung điểm của \[BC \Rightarrow OB=OC=\dfrac{BC}{2}.\] [1]
Vì \[DO\] là đường trung tuyến của tam giác vuông \[DBC\] \[\RightarrowOD=\dfrac{1}{2}BC \] [2] [đườngtrung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền]
Từ [1] và [2] suy ra\[OD=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC\]
Do đó ba điểm \[B,\ D,\ C\] cùng thuộc đường tròn tâm \[O\] bán kính \[OB\].
Lập luận tương tự, tam giác BEC vuông tại E có EO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên \[OE=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC\]
Suy ra ba điểm \[B,\ E,\ C\] cùng thuộc đường tròn tâm \[O\] bán kính \[OB\].
Do đó 4 điểm \[B,\ C,\ D,\ E\] cùng thuộc đường tròn \[[O]\] đường kính \[BC\].
b] Xét \[{\left[ O; \dfrac{BC}{2} \right]}\], với \[BC\] là đường kính.
Ta có \[DE\] là một dây cung không đi qua tâm nên ta có \[BC > DE\] [ vì trong một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính].