Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có \[{x_A} = 2\] , điểm C và trung điểm K của AD cùng thuộc trục Oy, tâm I thuộc trục Ox, AD = 2AB. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết rằng K có tung độ âm.
Lời giải chi tiết
Đặt A[2 ; a]; K[0 ; k]; C[0 ; c]; I[1 ; 0] là tọa độ các điểm đã cho ta có
\[\frac{{a + c}}{2} = 0 \Rightarrow c = - a.\]
\[AD = 2AB \Rightarrow AK = 2KI.\]
Ta có : \[\overrightarrow {AK} = [ - 2;k - 1],\,\overrightarrow {IK} = [ - 1;k]\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {IK} = o\\\left| {\overrightarrow {AK} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {IK} } \right|\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + k[k - a] = 0\\{\overrightarrow {AK} ^2} = 4{\overrightarrow {IK} ^2}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k - a = - \frac{k}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\\4 + {[k - a]^2} = 4[1 + {k^2}]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2]\end{array} \right.\]
Thay [1] vào [2] ta được
\[4 + \frac{4}{{{k^2}}} = 4\left[ {1 + {k^2}} \right]\] \[ \Leftrightarrow 4{k^2} + 4 = 4{k^2} + 4{k^4}\] \[ \Leftrightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow k = - 1\,\,[k < 0].\]
Suy ra a = -3.
Vậy A[2 ; -3], C[0 ; 3] và K[0 ; -1].
Ta có \[\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AK} \] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 2 = 2.[0 - 2]\\{y_D} + 3 = 2.[ - 1 + 3]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2\\{y_D} = 1.\end{array} \right.\] Vậy D[-2 ; 1]
Ta có \[\overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DI} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + 2 = 2.[1 + 2]\\{y_B} - 1 = 2.[0 - 1]\end{array} \right. \] \[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4\\{y_B} = - 1.\end{array} \right.\]
Vậy B[4 ; -1].