Đề bài
Cho góc xAy nhọn có At là tia phân giác. Trên tia At ta lấy điểm D, đường thẳng song song với Ay kẻ từ D cắt Ax tại C.
a] Chứng minh rằng \[\widehat {CAD} = \widehat {CDA}\]
b] Trên Ay, lấy điểm B sao cho AB = AC. Chứng minh rằng \[\Delta ACD = \Delta ABD\]
c] Chứng minh rằng AC = DB và AC // DB.
Lời giải chi tiết
a]Ay // DC [gt]\[ \Rightarrow \widehat {yAD} = \widehat {ADC}\] [hai góc so le trong].
Mà \[\widehat {yAD} = \widehat {CAD}\] [At là tia phân giác góc xAy]
Do đó: \[\widehat {CAD} = \widehat {ADC}\]
b] Xét tam giác ACD và ABD có:
AC = AB [gt]
\[\widehat {CAD} = \widehat {BAD}\] [At là tia phân giác của góc xAy]
AD là cạnh chung.
Do đó: \[\Delta ACD = \Delta ABD[c.g.c]\]
c] \[Ay//CD \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {DCB}\] [hai góc so le trong]
\[\Delta ACD = \Delta ABD\] [chứng minh câu b] \[ \Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {ABD}\]
Mà \[\widehat {DBC} + \widehat {ABC} = \widehat {ABD};\widehat {ACB} + \widehat {BCD} = \widehat {ACD}.\] Nên \[\widehat {DBC} = \widehat {ACB}\]
Xét tam giác ABC và DCB có:
\[\eqalign{ & \widehat {ABC} = \widehat {DCB}[cmt] \cr & \widehat {ACB} = \widehat {DBC}[cmt] \cr} \]
BC là cạnh chung.
Do đó: \[\Delta ABC = \Delta DCB[g.c.g] \Rightarrow AC = BD\]
Ta có: \[\widehat {DBC} = \widehat {BCA}\] [chứng minh trên]
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BD // AC.