Đề bài - câu 65 trang 62 - 63 sách bài tập hình học 11 nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.

a) Hãy xác định đường thẳng \(\Delta \) cắt cả hai đường thẳng AC1và BA1đồng thời song song với B1D1.

b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của với AC1và BA1. Tính tỉ số \({{AI} \over {A{C_1}}}\).

Lời giải chi tiết

a) Giả sử đã xác định được đường thẳng \(\Delta \) cắt AC1và BA1lần lượt tại I và J.

Xét phép chiếu song song lên mp(ABB1A1) theo phương chiếu D1B1. Khi đó, hình chiếu của ba điểm thẳng hàng A, I, C1lần lượt là ba điểm thẳng hàng A, J, K. Mặt khác J thuộc BA1, nên J chính là giao điểm của AK và BA1.

Từ đó, ta có cách dựng đường thẳng \(\Delta \) theo các bước sau đây:

- Dựng điểm K là hình chiếu của C1(theo phương chiếu D1B1).

- Lấy giao điểm J của AK và BA1.

- Qua J dựng đường thẳng \(\Delta \) // C1K ( đã có C1K // B1D1) ta được đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.

b) Dễ thấy \({A_1}{B_1} = {B_1}K \Rightarrow {A_1}K = 2AB\) (do A1B1= AB).

Vì AB // A1K \(\Rightarrow {{{\rm{AJ}}} \over {JK}} = {{AB} \over {{A_1}K}} = {1 \over 2}\).

Mặt khác IJ // C1K \(\Rightarrow {{AI} \over {I{C_1}}} = {{{\rm{AJ}}} \over {JK}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{AI} \over {A{C_1}}} = {1 \over 3}\).