Đề bài
Câu 1. Tìm \[I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}\,dx} \].
A. \[I = - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x + \sin x + C\].
B. \[I = \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x + \sin x + C\].
C. \[I = {\sin ^2}x - \sin x + C\]
D. \[I = - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x - \sin x + C\].
Câu 2. Một vật chuyển động với vận tốc \[v[t] = 1,2 + \dfrac{{{t^2} + 4}}{{1 + 3}}\,\,\,[m/s]\]. Quãng đường vật đi được sau 4s xấp xỉ bằng :
A. 11m B. 12m
C. 13m D. 14m.
Câu 3. Cho hai hàm số \[f[x] = {x^2},\,\,g[x] = {x^3}\]. Chọn mệnh đề đúng :
A. \[\int\limits_0^1 {f[x]\,dx \ge 0} \].
B. \[\int\limits_0^1 {g[x]\,dx \le 0} \].
C. \[\int\limits_0^1 {g[x]\,dx \ge \int\limits_0^1 {f[x]\,dx} } \].
D. \[\int\limits_0^1 {f[x]\,dx \le 0} \].
Câu 4. Đặt \[I = \int\limits_1^e {\ln x\,dx} \]. Lựa chọn phương án đúng :
A. I = 1.
B. Cả ba phương án đều sai.
C. I = 2 e
D. I = 3 1 .
Câu 5. Cho f[x] là hàm liên tục trên [a ; b] và không phải là hàm hằng. Giả sử F[x] là một nguyên hàm của f[x]. Lựa chọn phương án đúng:
A. F[x] C không phải là nguyên hàm của f[x] với mọi số thực C.
B. F[x] +2C không phải là nguyên hàm của f[x] với mọi số thực C.
C. CF[x] không phải là nguyên hàm của f[x] với mọi số thực \[C \ne 1\].
D. Cả 3 phương án đều sai.
Câu 6. Tính nguyên hàm \[\int {{{\left[ {{e^3}} \right]}^{\cos x}}\sin x\,dx} \] ta được:
A. \[ - {e^{3\cos x}} + C\].
B. \[{e^{3\cos x}} + C\].
C. \[ - \dfrac{{{e^{3\cos x}}}}{3} + C\].
D. \[\dfrac{{{e^{3\cos x}}}}{3} + C\].
Câu 7. Tính nguyên hàm \[\int {\dfrac{{2{x^2} - 7x + 7}}{{x - 2}}\,dx} \] ta được:
A. \[{x^2} - 3x - \ln |x - 2| + C\].
B. \[{x^2} - 3x + \ln |x - 2| + C\].
C. \[2{x^2} - 3x - \ln |x - 2| + C\]
D.\[2{x^2} - 3x + \ln |x - 2| + C\].
Câu 8. Chọn phương án đúng .
A. \[\int {\dfrac{{dx}}{{{x^\alpha }}} = \dfrac{{{x^{1 - \alpha }}}}{{1 - \alpha }} + C\,,\forall \alpha \in R} \].
B. \[\int {\dfrac{{dx}}{x} = \ln |Cx|} \], với C là hằng số .
C. \[\int {\dfrac{{dx}}{{\left[ {x + a} \right]\left[ {x + b} \right]}} = \dfrac{1}{{a - b}}\ln \left| {\dfrac{{x + b}}{{x + a}}} \right| + C} \], với mọi số thực a, b.
D. Cả 3 phương án trên đều sai.
Câu 9. Tính nguyên hàm \[\int {{3^{{x^2}}}x\,dx} \] ta được:
A. \[\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{2}\ln 3 + C\].
B. \[{3^{{x^2}}} + C\].
C. \[\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{{2\ln 3}} + C\].
D. \[\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{2} + C\].
Câu 10. Tính tích phân \[I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x.\cos \left[ {a - x} \right]\,dx} \].
A. \[I = \left[ {1 - \dfrac{\pi }{2}} \right]\cos a + \sin a\].
B. \[I = \left[ {1 - \dfrac{\pi }{2}} \right]\cos a - \sin a\].
C. \[I = \left[ {\dfrac{\pi }{2} - 1} \right]\cos a + \sin a\].
D. \[I = \left[ {1 + \dfrac{\pi }{2}} \right]\cos a - \sin a\]
Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^3}\], trục hoành và hai đường thẳng x = - 1 , x = - 2 .
A. 17 B. \[\dfrac{{17}}{4}\]
C. \[\dfrac{{15}}{4}\] D. 4.
Câu 12. Tìm hàm số F[x] biết rằng \[F'[x] = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\] và đồ thị của hàm số F[x] đi qua điểm \[M\left[ {\dfrac{\pi }{6};0} \right]\].
A. \[F[x] = \cot x + \sqrt 3 \].
B. \[F[x] = - \cot x + \sqrt 3 \].
C. \[F[x] = \dfrac{1}{{\sin x}} + \sqrt 3 \].
D. \[F[x] = - \dfrac{1}{{\sin x}} + \sqrt 3 \].
Câu 13. Xét hàm số f[x] có \[\int {f[x]\,dx = F[x] + C} \]. Với a, b là các số thực và \[a \ne 0\], khẳng định nào sau đây luôn đúng ?
A. \[\int {f[ax + b] = \dfrac{1}{a}F[ax + b] + C} \].
B. \[\int {f[ax + b] = aF[ax + b] + C} \].
C. \[\int {f[ax + b] = F[ax + b] + C} \].
D. \[\int {f[ax + b] = aF[x] + b + C} \].
Câu 14. Biến đổi \[\int\limits_0^3 {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}\,dx} \]thành \[\int\limits_1^2 {f[t]\,dt\,,\,\,t = \sqrt {x + 1} } \]. Khi đó f[t] là hàm nào trong các hàm số sau ?
A. \[f[t] = 2{t^2} + 2t\].
B. \[f[t] = 2{t^2} - 2t\].
C. \[f[t] = {t^2} + t\].
D. \[f[t] = {t^2} - t\].
Câu 15. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0 ; 6]. Nếu \[\int\limits_1^5 {f[x]\,dx = 2\,,\,\,\int\limits_1^3 {f[x]\,dx = 7} } \] thì \[\int\limits_3^5 {f[x]\,dx} \] có giá trị bằng bao nhiêu ?
A. 5 B. -5
C. 9 D. -9 .
Câu 16. Cho tích phân \[I = \int\limits_a^b {f[x].g'[x]\,dx} \] , nếu đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = f[x]\\dv = g'[x]\,dx\end{array} \right.\] thì:
A. \[I = f[x].g'[x]\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f'[x].g[x]\,dx} \]
B. \[I = f[x].g[x]\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f[x].g[x]\,dx} \].
C. \[I = f[x].g[x]\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f'[x].g[x]\,dx} \]
D. \[I = f[x].g'[x]\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f[x].g'[x]\,dx} \].
Câu 17. Biết \[\int\limits_1^4 {f[t]\,dt = 3,\,\,\int\limits_1^2 {f[t]\,dt = 3} } \]. Phát biểu nào sau đây nhân giá trị đúng ?
A. \[\int\limits_2^4 {f[t]\,dt = 3} \].
B. \[\int\limits_2^4 {f[t]\,dt = - 3} \].
C. \[\int\limits_2^4 {f[t]\,dt = 6} \].
D. \[\int\limits_2^4 {f[t]\,dt = 0} \].
Câu 18.Tìm nguyên hàm của hàm số \[f[x] = {2^{2x}}{.3^x}{.7^x}\].
A. \[\int {f[x]\,dx = \dfrac{{{{84}^x}}}{{\ln 84}} + C} \].
B. \[\int {f[x]\,dx = \dfrac{{{2^{2x}}{3^x}{7^x}}}{{\ln 4.\ln 3.\ln 7}} + C} \].
C. \[\int {f[x]\,dx = {{84}^x} + C} \].
D. \[\int {f[x]\,dx = {{84}^x}\ln 84 + C} \].
Câu 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = \sqrt x - x\] và trục hoành.
A. 1 B. \[\dfrac{1}{6}\]
C. \[\dfrac{5}{6}\] D. \[\dfrac{1}{3}\].
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số \[f[x] = \dfrac{{{{\left[ {{x^2} - 1} \right]}^2}}}{{{x^2}}}\].
A. \[\dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x - \dfrac{1}{x} + C\].
B. \[\dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x + \dfrac{1}{x} + C\].
C. \[\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{1}{x} + C\].
D. \[\dfrac{{{x^3}}}{2} + 2x - \dfrac{1}{x} + C\].
Câu 21. Nguyên hàm của hàm số \[f[x] = \dfrac{{\cos 2x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}\] là:
A. \[\cot x - \tan x\].
B. \[ - \cot x + \tan x\].
C. \[ - \cot x - \tan x\].
D. \[\cot x + \tan x\].
Câu 22. Tính tích phân \[\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cot x\,dx} \] ta được kết quả là :
A. \[\ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\].
B. \[\ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\].
C. \[ - \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\].
D. \[ - \ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\].
Câu 23. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình \[y = {x^{\dfrac{1}{2}}}{e^{\dfrac{x}{2}}}\], trục Ox, x =1 , x = 2 quay một vòng quanh trục Ox bằng :
A. \[\pi e\]. B. \[2\pi {e^2}\]
C. \[4\pi \] D. \[16\pi \].
Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x và đồ thị hàm số \[y = \dfrac{{{x^2}}}{4}\] trong miền \[x \ge 0,y \le 1\] là \[\dfrac{a}{b}\]. Khi đó b a bằng:
A. 4 B. 2
C. 3 D. - 1
Câu 25. Cho \[I = \int\limits_0^1 {\left[ {2x + 1} \right]{e^x}\,dx} \]. Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 1\\dv = {e^x}\,dx\end{array} \right.\]. Chọn khẳng định đúng .
A. A. \[I = 3e - 1 + 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx} \].
B. \[I = 3e - 1 - 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx} \].
C. \[I = 3e - 2\int\limits_0^1 {{e^{x\,}}\,dx} \].
D. \[I = 3e + 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx} \].
Lời giải chi tiết
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
A |
B |
A |
A |
C |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
C |
B |
B |
C |
C |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
C |
B |
A |
B |
B |
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
C |
D |
A |
B |
A |
|
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
|
C |
C |
B |
D |
B |
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Ta có:
\[I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}\,dx} \]
\[= \int {\dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + \sin x}}} \,d\left[ {\sin x} \right] \]
\[= \int {\dfrac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{1 + \sin x}}} \,d\left[ {\sin x} \right]\]
\[ = \int {\left[ {1 - \sin x} \right]} \,d\left[ {\sin x} \right] \]
\[= \left[ {\sin x - \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}x} \right] + C\]
Chọn đáp án A.
Câu 2.
Quãng đường vật đi được sau 4s là:
\[s\left[ t \right] = \int\limits_0^4 {\left[ {1,2 + \dfrac{{{t^2} + 4}}{{t + 3}}} \right]\,dt} \]
\[= \int\limits_0^4 {\left[ {1,2 + t - 3 + \dfrac{{13}}{{t + 3}}} \right]\,dt} \]
\[= \left[ {\dfrac{{{t^2}}}{2} - 1,8t + 13\ln \left| {t + 3} \right|} \right]\left| \begin{array}{l}^4\\_0\end{array} \right.\]
\[ = \left[ {8 - 1,8.4 + 13\ln 7} \right] - 13\ln 3\]\[ \approx 12\left[ m \right]\]
Chọn đáp án B.
Câu 3.
Ta có: \[\int\limits_0^1 {f\left[ x \right]} \,dx = \int\limits_0^1 {{x^2}} dx = \left[ {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right]\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{3}\]
\[\int\limits_0^1 {g\left[ x \right]} \,dx = \int\limits_0^1 {{x^3}} dx = \left[ {\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right]\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{4}\]
Chọn đáp án A.
Câu 4.
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\]
Khi đó ta có: \[I = \int\limits_1^e {\ln x\,dx} = \left[ {x\ln x} \right]\left| {_1^e} \right. - \int\limits_1^e {dx} \]\[\, = e - \left[ x \right]\left| {_1^e} \right. = e - \left[ {e - 1} \right] = 1\]
Chọn đáp án A.
Câu 5.
Ta có \[\int {f\left[ x \right]} \,dx = F\left[ x \right] + C\]
\[ \Rightarrow \]\[CF\left[ x \right]\] không phải là nguyên hàm của \[f\left[ x \right]\]với mọi số thực \[C \ne 1\].
Chọn đáp án C.
Câu 6.
Ta có: \[\int {{{\left[ {{e^3}} \right]}^{\cos x}}\sin x\,dx} \]
\[= - \dfrac{1}{3}\int {{e^{3\cos x}}\,d\left[ {3\cos x} \right]} \]
\[= - \dfrac{1}{3}{e^{3\cos x}} + C\]
Chọn đáp án C.
Câu 7.
Ta có: \[\int {\dfrac{{2{x^2} - 7x + 7}}{{x - 2}}\,dx} \]
\[= \int {\dfrac{{2\left[ {{x^2} - 4x + 4} \right] + x - 2 + 1}}{{x - 2}}} \,dx \]
\[= \int {\left[ {2\left[ {x - 2} \right] + 1 + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right]} \,dx\]
\[ = \left[ {{x^2} - 3x + \ln \left| {x - 2} \right|} \right] + C\]
Chọn đáp án B.
Câu 8.
+ Ta có: \[\int {\dfrac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right|} + C \to \] Đáp án B sai.
+ Ta có \[\int {\dfrac{{dx}}{{{x^\alpha }}} = \dfrac{{{x^{1 - \alpha }}}}{{1 - \alpha }} + C\,,\forall \alpha \in R} ,\alpha \ne 1 \to \] Đáp án A sai.
+ Ta có: \[\int \dfrac{{dx}}{{\left[ {x + a} \right]\left[ {x + b} \right]}}\]
\[= \dfrac{1}{{a - b}}\int {\left[ {\dfrac{1}{{x + b}} - \dfrac{1}{{x + a}}} \right]\,dx}\]
\[= \dfrac{1}{{a - b}}\ln \left| {\dfrac{{x + b}}{{x + a}}} \right| + C \]
Chọn đáp án C.
Câu 9.
Ta có: \[\int {{3^{{x^2}}}x\,dx} = \int {{3^{{x^2}}}} d\left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right] \]\[\,= \dfrac{1}{2}\int {{3^{{x^2}}}} d\left[ {{x^2}} \right] = \dfrac{1}{2}\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{{\ln 3}} + C\]
Chọn đáp án C.
Câu 10.
Ta có: \[I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x.\cos \left[ {a - x} \right]\,dx} \]\[\,= - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\,d\left[ {\sin \left[ {a - x} \right]} \right]} \]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = d\left[ {\sin \left[ {a - x} \right]} \right]\end{array} \right. \]
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \sin \left[ {a - x} \right]\end{array} \right.\]
Khi đó ta có:
\[I = - \left[ {x\sin \left[ {a - x} \right]} \right]\left| {_{_{\scriptstyle\atop{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right. + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin \left[ {a - x} \right]} \,dx\]
\[= - \dfrac{\pi }{2}\sin \left[ {a - \dfrac{\pi }{2}} \right] + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} d \left[ {\cos \left[ {a - x} \right]} \right]\]
\[ = - \dfrac{\pi }{2}\sin \left[ {a - \dfrac{\pi }{2}} \right] + \cos \left[ {a - x} \right]\left| \begin{array}{l}^{\dfrac{\pi }{2}}\\_0\end{array} \right. \]
\[= - \dfrac{\pi }{2}\sin \left[ {a - \dfrac{\pi }{2}} \right] + \cos \left[ {a - \dfrac{\pi }{2}} \right] - \cos a\]
\[ = \dfrac{\pi }{2}\cos a + \sin a - \cos a \]
\[= \left[ {\dfrac{\pi }{2} - 1} \right]\,\cos a + \sin a\]
Chọn đáp án C.
Câu 11.
Diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức
\[S = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {{x^3}} \right|} \,dx = \left| {\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right|\left| \begin{array}{l}^{ - 1}\\_{ - 2}^{}\end{array} \right.\]\[\, = \left| {\dfrac{1}{4} - 4} \right| = \dfrac{{15}}{4}.\]
Chọn đáp án C.
Câu 12.
Ta có: \[\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} = \left[ { - \cot x} \right] + C\]
Theo giả thiết ta có: \[F\left[ {\dfrac{\pi }{6}} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow - \cot \left[ {\dfrac{\pi }{6}} \right] + C = 0 \Leftrightarrow C = \sqrt 3 \]
Chọn đáp án B.
Câu 13.
Ta có: \[\int {f[x]\,dx = F[x] + C} \]\[ \Rightarrow \]\[\int {f[ax + b] = \dfrac{1}{a}F[ax + b] + C} \]
Chọn đáp án A.
Câu 14.
Đặt \[t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow dx = 2tdt\]
Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = 3 \to t = 2\end{array} \right.\]
Khi đó ta có: \[I = \int\limits_1^2 {2t.\dfrac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}} \,dt = \int\limits_1^2 {2t\left[ {t - 1} \right]\,dt} \]
\[ \Rightarrow f\left[ t \right] = 2{t^2} - 2t\]
Chọn đáp án B.
Câu 15.
Ta có: \[\int\limits_1^5 {f\left[ x \right]} \,dx \]\[\,= \int\limits_1^3 {f\left[ x \right]} \,dx + \int\limits_3^5 {f\left[ x \right]} \,dx = 2 \]
\[\Rightarrow \int\limits_3^5 {f\left[ x \right]} \,dx = 2 - \int\limits_1^3 {f\left[ x \right]} \,dx\]\[\, = 2 - 7 = - 5\]
Chọn đáp án B.
Câu 16.
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = f[x]\\dv = g'[x]\,dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left[ x \right]\\v = g\left[ x \right]\end{array} \right.\]
Khi đó \[I = \int\limits_a^b {f[x].g'[x]\,dx} \]\[\, = \left[ {f\left[ x \right].g\left[ x \right]} \right]\left| \begin{array}{l}^b\\_a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {g\left[ x \right]} f'\left[ x \right]\,dx\]
Chọn đáp án A.
Câu 17.
Ta có: \[\int\limits_1^4 {f[t]\,dt = \,\,\int\limits_1^2 {f[t]\,dt + \int\limits_2^4 {f\left[ t \right]\,dt} } } \]\[\,= 3 \]
\[\Rightarrow \int\limits_2^4 {f\left[ t \right]\,dt} = 3 - \int\limits_1^2 {f[t]\,dt} \]\[\, = 3 - 3 = 0\]
Chọn đáp án D.
Câu 18.
Ta có: \[\int {{2^{2x}}{3^x}{7^x}} dx = \int {{{84}^x}} dx = \int f[x]\,dx \]\[\,= \dfrac{{{{84}^x}}}{{\ln 84}} + C\]
Chọn đáp án A.
Câu 19.
Phương trình hoành độ giao điểm \[\sqrt x - x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\]
Khi đó diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức
\[S = \int\limits_0^1 {\left[ {\sqrt x - x} \right]\,dx} \]\[\, = \left[ {\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}} - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right]\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{6}\]
Chọn đáp án B.
Câu 20.
Ta có: \[\int {\dfrac{{{{\left[ {{x^2} - 1} \right]}^2}}}{{{x^2}}}} \,dx = \int {\dfrac{{{x^4} - 2{x^2} + 1}}{{{x^2}}}} \,dx\]
\[= \int {\left[ {{x^2} - 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right]} \,dx \]
\[= \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x - \dfrac{1}{x} + C\]
Chọn đáp án A.
Câu 21.
Ta có: \[\int {\dfrac{{\cos 2x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}} \,dx\]
\[= \int {\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}} \,dx\]
\[= \int {\left[ {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right]} \,dx \]
\[= - \cot x - \tan x + C\]
Chọn đáp án C.
Câu 22.
Ta có: \[\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cot x\,dx} = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\,dx} \]
\[= \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{{\sin x}}\,d\left[ {\sin x} \right]} \]
\[= \ln \left| {\sin x} \right|\left| {_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right. = - \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
Chọn đáp án C.
Câu 23.
Thể tích của khối tròn xoay được xác định bởi công thức:
\[V = \pi \int\limits_1^2 {x{e^x}dx} = \pi {e^x}\left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right]|_1^2 \]\[\,= \pi \left[ {2{e^2} - 0} \right] = 2\pi {e^2}\]
Câu 24.
Diện tích hình phẳng dưới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị được xác định bằng công thức:
\[S = \int\limits_0^1 {\left[ {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \right]} \,dx + \int\limits_0^1 {\left[ {x - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \right]} \,dx\]
\[= \left[ {x - \dfrac{{{x^3}}}{{12}}} \right]\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. + \left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{{12}}} \right]\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right.\]
\[ = 1 - \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{12}} = \dfrac{4}{3}\]
Khi đó \[b - a = 3 - 4 = - 1.\]
Chọn đáp án D.
Câu 25.
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 1\\dv = {e^x}\,dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
Khi đó
\[I = \int\limits_0^1 {\left[ {2x + 1} \right]{e^x}\,dx} \]
\[= \left[ {\left[ {2x + 1} \right]{e^x}} \right]\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. - 2\int\limits_0^1 {{e^x}} dx \]
\[= 3e - 1 - 2\int\limits_0^1 {{e^x}} dx\]
Chọn đáp án B