Đề bài
Cho nửa đường tròn [O] đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.
a] Chứng minh rằng CA là phân giác của góc \[\widehat {MCH}\].
b] Giả sử MA = a, MC = c, tính AB và CH.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh hai góc \[\widehat {ACM}\] và \[\widehat {ACH}\] cùng bằng \[\widehat {ABC}\].
b] Gọi bán kính của đường tròn đường kính AB là R.
+] Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OCM tính R, từ đó tính được AB.
+] Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCM tính CH.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\widehat {ACB} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] \[ \Rightarrow \Delta ABC\] vuông tại C
\[ \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {BAC} = {90^0}\] [hai góc nhọn trong tam giác vuông] hay \[\widehat {ABC} + \widehat {HAC} = {90^0}\]
\[\Delta AHC\] vuông tại H \[ \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {ACH} = {90^0}\] [hai góc nhọn trong tam giác vuông].
\[ \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACH}\] [cùng phụ với\[\widehat {HAC}\]]
Lại có \[\widehat {ACM} = \widehat {ABC}\] [góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC]
\[ \Rightarrow \widehat {ACM} = \widehat {ACH} \Rightarrow CA\] là tia phân giác của \[\widehat {MCH}\].
b] Gọi bán kính của đường tròn đường kính AB là R
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OCM có:
\[\begin{array}{l}M{C^2} + O{C^2} = O{M^2} \\\Leftrightarrow {c^2} + {R^2} = {\left[ {a + R} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {c^2} + {R^2} = {a^2} + 2aR + {R^2} \\\Leftrightarrow {a^2} + 2Ra - {c^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2R = \dfrac{{{c^2} - {a^2}}}{a} = AB \\\Rightarrow R = \dfrac{{{c^2} - {a^2}}}{{2a}}\end{array}\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCM có:
\[\begin{array}{l}\dfrac{1}{{C{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{C^2}}} + \dfrac{1}{{C{M^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{C{H^2}}} = \dfrac{1}{{{R^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{C{H^2}}} = \dfrac{{4{a^2}}}{{{c^2} - {a^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{C{H^2}}} = \dfrac{{4{a^2}{c^2} + {c^2} - {a^2}}}{{{c^2}\left[ {{c^2} - {a^2}} \right]}}\\ \Rightarrow C{H^2} = \dfrac{{{c^2}\left[ {{c^2} - {a^2}} \right]}}{{4{a^2}{c^2} + {c^2} - {a^2}}}\\ \Rightarrow CH = \sqrt {\dfrac{{{c^2}\left[ {{c^2} - {a^2}} \right]}}{{4{a^2}{c^2} + {c^2} - {a^2}}}} \end{array}\]