Đề bài
Cho tam giác ABC, lấy P, Q lần lượt là trung điểm cạnh AB và AC. Kẻ BE, CF cùng vuông góc với PQ.
a]Chứng minh tứ giác BCFE là hình chữ nhật.
b]Chứng minh \[{S_{BCFE}} = {S_{ABC}}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật
Các tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau
Lời giải chi tiết
a] Ta có PQ là đường trung bình của \[\Delta ABC\] nên \[PQ// BC.\]
Lại có \[BE// CF\left[ { \bot PQ} \right]\] nên BCFE là hình bình hành có một góc vuông.
Do đó BCFE là hình chữ nhật.
b] Kẻ \[AH \bot PQ.\] Ta có \[\Delta AHP = \Delta BEP\] [ch-gn]
Tương tự \[\Delta AHQ = \Delta CFQ\] [ch-gn]
Gọi \[{S_1},{S_2},{S_3},{S_4}\] lần lượt là diện tích các tam giác AHP, BEP, AHQ và CFQ.
Ta có: \[{S_1} = {S_2}\] và \[{S_3} = {S_4}\]
Mà \[{S_{BCEF}} = {S_2} + {S_{BPQC}} + {S_4}\] và \[{S_{ABC}} = {S_1} + {S_{BPQC}} + {S_3}.\]
Do đó: \[{S_{BCEF}} = {S_{ABC}}\].