Đề bài
Tính diện tích đường tròn ngoại tiếp và hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh 10 cm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn bán kính R là \[S = \pi {R^2}\].
Lời giải chi tiết
Gọi \[O = AC \cap BD\]. Gọi H là trung điểm của AB ta có \[OH \bot AB\] [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung].
Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là OA.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAB có: \[O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\]
\[ \Rightarrow 2O{A^2} = {10^2} = 100 \Leftrightarrow O{A^2} = 50\]
\[ \Leftrightarrow OA = 5\sqrt 2 \].
\[ \Rightarrow \] Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là \[S = \pi O{A^2} = \pi .{\left[ {5\sqrt 2 } \right]^2} = 50\pi \approx 157\,\,\left[ {c{m^2}} \right]\].
Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD là OH.
Ta có \[OH = \dfrac{1}{2}AB = 5\,\,\left[ {cm} \right]\][Định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông]
\[ \Rightarrow \] Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD là \[S' = \pi O{H^2} = 25\pi \approx 78,5\,\,\left[ {c{m^2}} \right]\]