Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A và \[\widehat A = {50^o}\]. Nửa đường tròn đường kính AC cắt AB tại D và cắt BC tại H. Tính số đo các cung AD, DH và HC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Chứng minh tam giác ADC vuông tại D, sử dụng định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông, chứng minh tam giác OAD cân tại O, tính \[\widehat {AOD}\].
+] Tương tự tính \[\widehat {HOC}\]. Từ đó tính \[\widehat {DOH}\].
+] Sử dụng định lí: Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn tính số đo các cung AD, DH và HC.
Lời giải chi tiết
Gọi O là trung điểm AC \[ \Rightarrow O\] là tâm đường tròn đường kính AC.
+] Ta có \[\widehat {ADC} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] \[ \Rightarrow \Delta ACD\] vuông tại D.
\[ \Rightarrow DO = \dfrac{1}{2}AC = OC = OD\] [định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông]
\[ \Rightarrow \Delta OAD\] cân tại O \[ \Rightarrow \widehat {OAD} = \widehat {ODA} = {50^0}\].
Xét tam giác OAD có \[\widehat {OAD} + \widehat {ODA} + \widehat {AOD} = {180^0}\] [tổng ba góc trong một tam giác]
\[ \Rightarrow {50^0} + {50^0} + \widehat {AOD} = {180^0} \]
\[\Rightarrow {100^0} + \widehat {AOD} = {180^0} \]
\[\Rightarrow \widehat {AOD} = {180^0} - {100^0} = {80^0}\].
Mà \[\widehat {AOD}\] là góc ở tâm \[ \Rightarrow \widehat {AOD} = sdcung\,AD\] [số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn].
Vậy \[sd \;cung AD = 80^o\].
+] \[\Delta ABC\] cân tại A \[ \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\].
Mà \[\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {BAC} = {180^0}\] [tổng ba góc trong 1 tam giác]
\[ \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0} - \widehat {BAC} = {180^0} - {50^0} = {130^0}\].
\[ \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{{{130}^0}}}{2} = {65^0}.\]
Ta có \[\widehat {AHC} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] \[ \Rightarrow \Delta AHC\] vuông tại H.
\[ \Rightarrow HO = \dfrac{1}{2}AC = OA = OC\] [định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông]
\[ \Rightarrow \Delta OHC\] cân tại O \[ \Rightarrow \widehat {OHC} = \widehat {OCH} = {65^0}\].
Xét tam giác OHC có: \[\widehat {OCH} + \widehat {OHC} + \widehat {HOC} = {180^0}\] [tổng ba góc trong 1 tam giác].
\[ \Rightarrow {65^0} + {65^0} + \widehat {HOC} = {180^0} \]
\[\Rightarrow {130^0} + \widehat {HOC} = {180^0} \]
\[\Rightarrow \widehat {HOC} = {50^0}\].
\[ \Rightarrow sdcung\,HC = \widehat {HOC} = {50^0}\] [số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn].
+] Ta có:
\[\begin{array}{l}\widehat {AOD} + \widehat {DOH} + \widehat {HOC} = \widehat {AOC} = {180^0} \\\Rightarrow {80^0} + \widehat {DOH} + {50^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {DOH} = {180^0} - {130^0} = {50^0}\end{array}\]
\[ \Rightarrow sdcung\,DH = \widehat {DOH} = {50^0}\][số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn].