Đề bài
a] Cho tam giác ABC vuông tại C có O là trung điểm của cạnh huyền AB. Từ O kẻ đường thẳng d vuông góc với CA. Chứng minh rằng đường thẳng d là trung trực của đoạn CA. Từ đó suy ra OA = OB = OC.
b] Cho tam giác MNP nội tiếp đường tròn tâm O đường kính MN. Chứng minh rằng
OM = ON = OP. Từ đó suy ra góc MPN vuông.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}d \bot AC\\BC \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \] d // BC
Đường thẳng d đi qua trung điểm của AB, song song với BC, do đó áp dụng định lí đường trung bình của tam giác trong tam giác ABC ta có d đi qua trung điểm của CA. Khi đó đường thẳng d vuông góc với AC tại trung điểm của CA.
Vậy d là trung trực của CA.
Mà \[O \in CA \Rightarrow OA = OC\] [điểm thuộc đường trung trực của 1 đoạn thẳng cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng đó]. Mà \[OA = OB\,\,\left[ {gt} \right]\].
Vậy \[OA = OB = OC\].
b]
Do M, N, P cùng thuộc đường tròn [O] nên \[OM = ON = OP\].
Tam giác OMP có OM = OP nên tam giác OMP cân tại O \[ \Rightarrow \widehat {OMP} = \widehat {OPM}\].
Chứng minh tương tự ta có tam giác OPN cân tại O \[\left[ {OP = ON} \right] \Rightarrow \widehat {ONP} = \widehat {OPN}\].
Xét tam giác MNP có \[\widehat {OMP} + \widehat {MPN} + \widehat {ONP} = {180^0}\] [tổng 3 góc trong tam giác]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {OPM} + \widehat {MPN} + \widehat {OPN} = {180^0}\\ \Rightarrow \left[ {\widehat {OPM} + \widehat {OPN}} \right] + \widehat {MPN} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {MPN} + \widehat {MPN} = {180^0}\\ \Rightarrow 2\widehat {MPN} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {MPN} = {90^0}\end{array}\]
Vậy tam giác MNP vuông tại P.