- Đường trung tuyến trong tam giác là một đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh đối diện với góc mà đường trung tuyến bắt đầu.
- Trung điểm của đường trung tuyến chính là điểm chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau và một tam giác có 3 đường trung tuyến
Ví dụ: Cho tam giác ABC, có D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC. Từ đó ta có các đường thẳng BD, AF, CE là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
2. Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác
– Định lý 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.
– Định lý 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
– Tính chất 1: Khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm của mỗi cạnh bằng 1/3 độ dài đường trung tuyến tương ứng với cạnh đó
– Tính chất 2: Mỗi trung tuyến chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.
Ví dụ: Cho tam giác ABC, có D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC.
- Gọi G là giao điểm của các đường thẳng BD, AF, CE, suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có tính chất sau:
3. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông cân
- Tam giác vuông cân là một tam giác có một góc vuông với hai cạnh góc vuông bằng nhau và bằng a.
- Trung tuyến trong tam giác vuông cân sẽ nối từ góc vuông đến cạnh đối diện sẽ là một đoạn thẳng vuông góc với cạnh huyền và bằng một phần hai nó.
Hay nói cách khác, cách nhận biết đường trung tuyến của một tam giác vuông cân là từ góc vuông, ứng với cạnh huyền sẽ có các tính chất của đường trung tuyến của tam giác vuông và tam giác cân, tức là nó sẽ có chiều dài bằng 1/2 cạnh huyền, vuông góc với cạnh huyền, và chia góc vuông thành 2 góc có 45o.
4. Công thức tính trung tuyến tam giác vuông cân
Tam giác vuông cân là một tam giác có một góc vuông với hai cạnh góc vuông bằng nhau và bằng a. Do đó, trung tuyến trong tam giác vuông cân mà nối từ góc vuông đến cạnh đối diện sẽ là một đoạn thẳng vuông góc với cạnh huyền và bằng một phần hai nó.
Độ dài trung tuyến = [a]/2
5. Công thức tính độ dài đường trung tuyến
Công thức tính độ dài đường trung tuyến của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của một phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ một phần tư bình phương cạnh đối.
Trong đó: a, b ,c lần lượt là các cạnh trong tam giác
ma, mb, mc lần lượt là những đường trung tuyến trong tam giác
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác, N là trung điểm AC. Khi đó BG/BN là bao nhiêu.
Hướng dẫn:
Vì G là trọng tâm của ΔABC nên BG=23BN
Số thích hợp điền vào chỗ trống là 23
Ví dụ 2. Cho hình vẽ sau: Biết MG = 3cm. Tính MR, NG
Hướng dẫn:
- Ta có: MR, NS là hai đường trung tuyến của tam giác MNP và chúng cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác MNP
Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có: MGMR=23⇒MR=32MG=32.3=4,5[cm]
Vậy MR = 4,5cm
- Theo câu trước ta có G là trọng tâm của tam giác MNP.
Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:
Ví dụ 3. Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và G là trọng tâm. Độ dài đoạn AG là
Hướng dẫn:
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên AG=23AM [tính chất ba đường trung tuyến của tam giác]
Do đó: AG=23.9=6cm
Bài 1: Cho tam giác MNP cân tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ đường tuyến MI. Chứng minh MI ⊥ NP
Lời giải
Ta có MI là đường trung tuyến của ∆MNP nên IN = IP
Mặt khác ∆MNP là tam giác cân tại M
\=> MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
\=> MI ⊥ NP
Bài 2: Cho tam giác MNP biết NP = 20cm, PM = 16cm, MN = 14cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác MNP
Lời giải
a = NP = 20cm, b = PM = 16cm, c = MN = 14cm
Gọi độ dài đường trung tuyến từ những đỉnh M, N, P của ∆MNP lần lượt là ma, mb, mc
Áp dụng công thức tính đường trung tuyến trong tam giác ta có:
Vì độ dài các đường trung tuyến là độ dài đoạn thẳng do đó:
Bài 3: Cho tam giác vuông ABC có hai góc vuông AB = 3cm, AC= 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.
Lời giải
Xét ΔABC vuông tại A, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 [định lí Pitago]
Thay số: BC2 = 32 + 42 = 25
⇒ BC = 5 [cm]
Gọi M là trung điểm của BC, suy ra AM là đường trung tuyến.
Vì theo đề bài: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên
Đường trung bình trong tam giác vuông là gì?
Tính chất đường trung bình trong tam giác vuông là đường thẳng kết nối trung điểm của hai cạnh khác nhau của tam giác vuông. Đường trung bình này sẽ luôn đi qua đỉnh vuông góc của tam giác vuông. Cụ thể, đường trung bình trong tam giác vuông sẽ chia đôi cạnh huyền của tam giác và có độ dài bằng một nửa cạnh huyền.
Đường trung tuyến trong tam giác vuông cân là gì?
- Đường trung tuyến của tam giác vuông cân là đoạn thẳng nối từ góc vuông tới trung điểm của cạnh huyền. - Sử dụng tính chất của đường trung tuyến, ta biết rằng đường trung tuyến là trung bình cộng của hai cạnh góc vuông.
Đường trung bình của hình vuông là gì?
Trong một tam giác vuông, có hai cạnh góc vuông, ta gọi chúng là cạnh góc vuông. Đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh góc vuông lại với nhau là đường trung bình của tam giác vuông.
Đường trung bình của 1 tam giác là gì?
Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác; trong một tam giác có ba đường trung bình. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh thứ ba.