Hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm khi nào năm 2024
|
\(\left\{ \begin{array}{l} 2{x_1} - {x_2} + {x_3} - 3{x_4} = 1\\ {x_1} - 4{x_3} + 5{x_4} = - 2\\ - 2{x_2} + {x_4} = 0 \end{array} \right.\) Show Đặt \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&1&{ - 3}\\ 1&0&{ - 4}&5\\ 0&{ - 2}&0&1 \end{array}} \right),\,X = ({x_1};{x_2};{x_3};{x_4}) = \left( \begin{array}{l} {x_1}\\ {x_2}\\ {x_3}\\ {x_4} \end{array} \right)\,\,và\,B = \left( \begin{array}{l} 1\\ - 2\\ 0 \end{array} \right)\) Khi đó, hệ phương trình trên có thể viết lại dưới dạng ma trận là: AX = B. Trong trường hợp tổng quát, ta xét hệ m phương trình tuyến tính n ẩn như sau: \(\left\{ \begin{array}{l} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + .... + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}\\ {a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + .... + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}\\ ................................\\ {a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + .... + {a_{mn}}{x_n} = {b_m} \end{array} \right.\) Đặt \(A = {({a_{{\rm{ij}}}})_{m\,x\,n}},\,X = \left( \begin{array}{l} {x_1}\\ .\\ .\\ .\\ {x_n} \end{array} \right),\,B = \left( \begin{array}{l} {b_1}\\ .\\ .\\ .\\ {b_n} \end{array} \right)\). Khi đó, hệ phương trình trên có thể viết lại dưới dạng ma trận là AX = B.
Một phương pháp thông dụng để giải hệ phương trình tuyến tính là phương pháp Gauss, đưa ma trận hệ số mở rộng \(\overline A \) về dạng bậc thang hay bậc thang thu gọn, nhờ các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - 2{x_2} - {x_3} = - 6\\ 2{x_1} - {x_2} + {x_3} = 3\\ {x_1} + {x_3} = 4 \end{array} \right.\,\,\,(I)\) Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là : Ta có hệ phương trình (I) tương đương: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_3} = 4\\ {x_2} + {x_3} = 5 \end{array} \right.\,\,\,hay\,\,\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 4 - {x_3}\\ {x_2} = 5 - {x_3} \end{array} \right.\) Cho \({x_3} = \alpha \in R\), nghiệm của hệ là \({x_1} = 4 - \alpha ,{x_2} = 5 - \alpha ,{x_3} = \alpha \) Như thế, hệ phương trình có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là: \(X = (4 - \alpha ;5 - \alpha ;\alpha );\alpha \in R\) Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - {x_2} = - 1\\ 2{x_1} + {x_2} - {x_3} = 1\\ {x_2} + {x_3} = 5 \end{array} \right.\,\,\,(I)\) Giải Ma trận hệ số mở rộng của (I) là: Ta có hệ phương trình tương đương \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 1\\ {x_2} = 2\\ {x_3} = 3 \end{array} \right.\) Vậy hệ có nghiệm duy nhất X = (1;2;3) Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} - 2{x_3} = 1\\ 2{x_1} + {x_3} = 0\\ 4{x_1} + 2{x_2} - 3{x_3} = 3 \end{array} \right.\,\,(I)\) Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là Ta có hệ phương trình tương đương: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} - 2{x_3} = 1\\ - 2{x_2} + 5{x_3} = - 2\\ 0 = 1 \end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình vô nghiệm 3. Định lý Cronecker - CapelliXét hệ phương trình tuyến tính: AX = B với \({A_{m\,x\,n}},\,{X_{n\,\,x\,1}},\,{B_{m\,x\,1}}\) Ta có:
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} - {x_3} = 2\\ 2{x_1} + {x_3} = 1\\ {x_2} + 2{x_3} = - 2 \end{array} \right.\,(I)\) Ma trận hệ số mở rộng của (I) là Ta có: \(R(A) = R(\overline {A)} = 3\) số ẩn Vậy hệ có nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1) Ví dụ: Giải hệ phuơng trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_2} - 2{x_3} = 1\\ {x_1} + {x_3} = - 2\\ 2{x_1} + 2{x_2} - 2{x_3} = - 1 \end{array} \right.(I)\) Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là Ta có: \(R(A) = 2 < R(\overline {A)} = 3\). Vậy hệ vô nghiệm. Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - {x_2} + {x_3} = 3\\ 2{x_1} + {x_3} = 2\\ 3{x_1} - {x_2} + 2{x_3} = 5 \end{array} \right.\,(I)\) Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là Ta có: \(R\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}R\left( {\overline A } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}2\) (số ẩn là 3). Vậy hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn chính ứng với 2 phần tử dẫn đầu là x1, x2. Giải x1, x2 theo ẩn tự do x3 ta có hệ phương trình có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là: \(X = \left( {1 - \frac{\alpha }{2}; - 2 + \frac{\alpha }{2};\alpha } \right)\,với\,\alpha \in R\) 4. Hệ CramerHệ phương trình tuyến tính AX = B được gọi là hệ Cramer nếu A là ma trận vuông không suy biến , nghĩa là \(\left| A \right| \ne 0\) Khi đó, ta có nghiệm duy nhất: \(X = A^{-1}B\) Nếu cấp của ma trận A khá lớn thì việc tìm \(A^{-1}\) tương đổi phức tạp. Hơn nữa, có khi ta chi cần tìm một vài ẩn \(x_j\) thay vì toàn bộ các ẩ\(X=(x_1; x_2;....;x_n)\). Từ đó, người ta tìm ra công thúc tính từng ẩn \(x_j\) dựa vào công thức \(X = A^{-1}B\) như sau : \({x_j} = \frac{{{D_j}}}{D}\) Trong đó \(D = \left| A \right|\,và\,{D_j}\) là định thức của ma trận có được từ A bằng cách thay cột j bởi vế phải (cột B ). Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - 2{x_2} - {x_3} = - 3\\ - 3{x_1} + {x_2} = - 2\\ - 2{x_1} + {x_3} = 1 \end{array} \right.\) Giải: Ta có: \(\begin{array}{l} D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&{ - 1}\\ { - 3}&1&0\\ { - 2}&0&1 \end{array}} \right| = - 7;\,\,\,\,{D_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&{ - 2}&{ - 1}\\ { - 2}&1&0\\ 1&0&1 \end{array}} \right| = - 6\\ {D_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}&{ - 1}\\ { - 3}&{ - 2}&0\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right| = - 4;\,\,\,{D_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&{ - 3}\\ { - 3}&1&{ - 2}\\ { - 2}&0&1 \end{array}} \right| = - 19 \end{array}\) Vậy nghiệm là \(X = \left( {\frac{{{D_1}}}{D};\frac{{{D_2}}}{D};\frac{{{D_3}}}{D}} \right) = \left( {\frac{6}{7};\frac{4}{7};\frac{{19}}{7}} \right)\) 5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.Hệ phương trình tuyến tính AX = 0 gọi là hệ thuần nhất. Ngoài các tính chất chung của hệ AX = B, hệ thuần nhất AX = 0 còn có các tính chất riêng như sau :
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - {x_2} + {x_3} = 0\\ 2{x_1} - {x_2} = 0\\ {x_2} + 2{x_3} = 0 \end{array} \right.\) Giải: Ta có: \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&1\\ 2&{ - 1}&0\\ 0&1&2 \end{array}} \right| = 4 \ne 0\) Đây là hệ Cramer, nên hệ có nghiệm duy nhất X = (0; 0; 0) Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + 2{x_2} + 5{x_3} = 0\\ - 2{x_1} + {x_2} = 0\\ - {x_1} + 3{x_2} + 5{x_3} = 0 \end{array} \right.\) Giải: Ta có: Hệ có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là: \(X = ( - \alpha ; - 2\alpha ;\alpha ) = \alpha ( - 1; - 2;1),\alpha \in R\) Một hệ nghiệm cơ bản là {(-1;-2;1)}. Số chiều của không gian nghiệm là 1. Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - {x_2} - {x_4} = 0\\ {x_2} - {x_3} - {x_4} = 0\\ 2{x_1} - {x_2} - {x_3} - 3{x_4} = 0 \end{array} \right.\) Giải: Ta có: Nghiệm tổng quát là: \(X = (\alpha + 2\beta ;\alpha + \beta ;\alpha ;\beta ) = \alpha (1;1;1;0) + \beta (2;1;0;1)\,với\,\,\alpha ,\beta \in R\) Khi nào thì hệ phương trình tuyến tính có nghiệm?Một hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn qua ma trận hệ số và ma trận mở rộng . Hệ phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng , ký hiệu là r ( A ) = r ( A ′ ) .nullHệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi nào - RDSiCrdsic.edu.vn › blog › toan › he-phuong-trinh-tuyen-tinh-co-nghiem-khi-na...null Hệ phương trình có vô số nghiệm khi nào?Khái niệm về hệ phương trình vô nghiệm Hệ phương trình vô nghiệm xảy ra khi không có giá trị nào của các biến số thỏa mãn đồng thời tất cả các phương trình trong hệ.nullĐiều Kiện Để Hệ Phương Trình Vô Nghiệm: Cách Nhận Biết Và Giải ...rdsic.edu.vn › blog › toan › dieu-kien-de-he-phuong-trinh-vo-nghiem-huo...null Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm tầm thường khi nào?Hệ quả 3: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn chỉ có nghiệm tầm thường (nghiệm duy nhất) khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.4 thg 5, 2024nullHệ phương trình tuyến tính thuần nhất - Vtedvted.vn › tin-tuc › he-phuong-trinh-tuyen-tinh-thuan-nhat-6022null Hệ phương trình có nghiệm khi nào?- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung (x0,y0) ( x 0 , y 0 ) thì(x0,y0) ( x 0 , y 0 ) được gọi là nghiệm của hệ phương trình.nullLý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. | SGK Toán lớp 9loigiaihay.com › ...null |
