Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d: , , ,y = mx - m + 1 , , ,[ [m # 0] ] lớn nhất.
Câu 10762 Vận dụng cao
Tìm $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $d:\,\,\,y = mx - m + 1\,\,\,\left[ {m \ne 0} \right]$ lớn nhất.
Đáp án đúng: d
Phương pháp giải
Bước 1: Sử dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông để tính khoảng cách từ \[O\] đến \[AB\].
Bước 2:Sử dụng bất đẳng thức \[\left| {ax + by} \right| \le \sqrt {\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]} \]
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{a}{b}=\dfrac{x}{y}$
Hàm số bậc nhất --- Xem chi tiết
...Đáp án cần chọn là: D
Gọi A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng [d] với trục Ox, Oy
Khi đó, Am−1m;0,B0,−m+1
Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng [d] thì OH chính là khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng [d]
Xét tam giác vuông OAB có 1OH2=1OA2+1OB2⇔OH=OA.OBOA2+OB2
Suy ra OHmin⇔OA.OBOA2+OB2min
Ta cóOA.OBOA2+OB2=m−1m−m+1m−1m2+m−12=[m−1]2[m−1]2[1+m2]=m−11+m2
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì m−11+m2≤21+m21+m2=2
Vậy OHmin =2 và đạt được khi m = -1