- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Với Các dạng bài tập bất phương trình lôgarit và cách giải môn Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.
I. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
2. Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho a,b > 0, a ≠ 1
Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng: logaf[x] > b; logaf[x] ≥ b; logaf[x] < b; logaf[x] ≤ b
3. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit
+ Đưa về cùng cơ số
Nếu
Nếu
+ Đặt ẩn phụ
+ Mũ hóa
+ Phương pháp hàm số và đánh giá
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Bất phương trình logarit cơ bản
A. Phương pháp giải
Ta có BPT logax ≥ m [logax ≤ m; logax < m; logax > m]
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình
Hướng dẫn giải
Vậy tập nghiệm của BPT
Chọn B.
Câu 2: Bất phương trình log2[x2 - 2x + 3] > 1 có tập nghiệm là
A. R\ . B. R C. D. ø
Hướng dẫn giải
Chọn A.
log2[x2 - 2x + 3] > 1 ⇔ x2 - 2x + 3 > 21 ⇔ x2 - 2x + 1 > 0 ⇔ [x - 1]2 > 0 ⇔ x ≠ 1
Vậy tập nghiệm S = R\ .
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
Vậy tập nghiệm của BPT là:
Câu 4: Điều kiện xác định của bất phương trình
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện:
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính
Nhấn CALC và cho X = -0,5 [thuộc đáp án A và B] máy tính hiển thị 0,4054651081. Vậy loại đáp án C và D.
Nhấn CALC và cho X = 0,5 [thuộc đáp án B] máy tính không tính được. Vậy loại B,
Chọn A.
Câu 5: Bất phương trình
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Vậy tập nghiệm của BPT
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính
Nhấn CALC và cho X = -5 [thuộc đáp án A và D] máy tính hiển thị – 9,9277….
Vậy loại đáp án A và B.
Nhấn CALC và cho X = 1 [thuộc đáp án C] máy tính hiển thị – 1,709511291.
Chọn C.
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình
Hướng dẫn giải
Chọn A.
[Phương pháp tự luận]
Vậy tập nghiệm của BPT là
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính
Nhấn CALC và cho X = 1 [thuộc đáp án C và D] máy tính hiển thị 2,095903274. Vậy loại đáp án C và D.
Nhấn CALC và cho X = -1 [thuộc đáp án B] máy tính không tính được. Vậy loại B
Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số
A. Phương pháp giải
Xét bất phương trình logaf[x] > logag[x] [a > 0, a ≠ 1]
• Nếu a > 1 thì logaf[x] > logag[x] ⇔ f[x] > g[x] [cùng chiều khi a > 1]
• Nếu 0 < a < 1 thì logaf[x] > logag[x] ⇔ f[x] < g[x] [ngược chiều khi 0 < a < 1 ]
• Nếu a chứa ẩn thì logaf[x] > logag[x] ⇔
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Điều kiện xác định của bất phương trình
Hướng dẫn giải
Chọn C.
BPT xác định khi:
Câu 2: Điều kiện xác định của bất phương trình log2[x + 1] - 2log4[5 - x] < 1 - log2[x - 2] là:
A. 2 < x < 5 . B. 1 < x < 2 C. 2 < x < 3 D. -4 < x < 3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
BPT xác định khi:
Câu 3: Điều kiện xác định của bất phương trình
A. x > 3 . B. x > 2 C. x >-2 D. x > 0
Hướng dẫn giải
Chọn B.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện:
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính
Nhấn CALC và cho X = 1 máy tính không tính được. Vậy loại đáp án C và D.
Nhấn CALC và cho
Câu 4: Điều kiện xác định của bất phương trình log0,5[5x + 15] ≤ log0,5[x2 + 6x + 8] là:
A. x >-2 B.
Vậy tập nghiệm của BPT là .
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính [log0,2X]2 - 5log0,2X + 6
Nhấn CALC và cho X = 2,5 [thuộc đáp án B và D] máy tính hiển thị 9.170746391. Vậy loại đáp án B và D.
Nhấn CALC và cho
Câu 3: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
A. x = 3 B. x = 1 C. x = 2 D. x = 4
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0; x ≠ 1; x ≠ 3
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của BPT là x = 4.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Loại B, A vì x ≠ 1; x ≠ 3
Loại C vì x = 2 =>
Chọn D.
Câu 4: Nếu đặt
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x ∈ [-∞;1] ∪ [1;+∞]
Sau khi đưa về cùng cơ số 4, rồi tiếp tục biến đổi về cùng cơ số 3 ta được bất phương trình
Chọn A.
Dạng 4. Phương pháp mũ hóa
A. Phương pháp giải
Tương tự với giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ hóa.
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Bất phương trình logx[log3[9x - 72]] ≤ 1 có tập nghiệm là:
A. S = [log3√73;2] . B. S = [log3√73;2]
C. S = [log3√73;2] D. S = [-∞;2]
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện x > log3√73
logx[log3[9x - 72]] ≤ 1 ⇔ log3[9x - 72] ≤ x ⇔ 9x - 3x - 72 ≤ 0 ⇔ 3x ≤ 9 ⇔ x ≤ 2
Kết hợp với điều kiện log3√73 < x ≤ 2
Vậy tập nghiệm của BPT là: S = [log3√73;2]
Chọn B.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay x = log3√73 [thuộc B, C, D] vào biểu thức logx[log3[9x - 72]] được logx[0] không xác định, vậy loại B, C, D.
Chọn B.
Câu 2: Điều kiện xác định của phương trình log2[3log2[3x - 1] - 1] = x là:
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Biểu thức log2[3log2[3x - 1] - 1] = x xác định khi và chỉ khi:
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay
Chọn A.
Câu 3: Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình log3[4.3x-1] > 2x - 1 là:
A. x = 3. B. x = 2 C. x = 1 D. x = -1
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
log3[4.3x-1] > 2x - 1 ⇔ 4.3x-1 > 32x-1 ⇔ 32x - 4.3x < 0 ⇔ 0 < 3x < 4 ⇔ x < log34
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của BPT là: x = 1.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính log3[4.3x-1] - 2x + 1
Nhấn CALC và cho X = 3 [lớn nhất] máy tính hiển thị –1.738140493. Vậy loại đáp án A.
Nhấn CALC và cho X = 2 máy tính hiển thị – 0.7381404929. Vậy loại B.
Nhấn CALC và cho X = 1 máy tính hiển thị 0.2618595071.
Chọn C.
Dạng 5. Phương pháp hàm số, đánh giá
A. Phương pháp giải
Cho hàm số y = f[x] xác định và liên tục trên D:
Nếu hàm số f[t] luôn đồng biến trên D và ∀u,v ∈ D thì f[u] > f[v] ⇔ u > v
Nếu hàm số f[t] luôn nghịch biến trên D và ∀u,v ∈ D thì f[u] > f[v] ⇔ u < v
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình log2[x2 - 4x + 16] - log2[x] ≤ -5x2 + 40x - 74 là:
A. [-4;4] B. [4;+∞] C. D. [-∞;4]
Hướng dẫn giải
Tập xác định: [0;+∞]
Bất phương trình log2[x2 - 4x + 16] - log2[x] ≤ -5x2 + 40x - 74 tương đương với:
Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có:
Khi đó dấu “=” trong [1] xảy ra
So với điều kiện xác định ta nhận nghiệm x = 4.
So bốn đáp án, chỉ có đáp án C thỏa mãn.
Chọn C.
Câu 2: Cho bất phương trình
A. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là T = [-∞;-2] ∪ [-1;1].
B. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là T = [-∞;0] ∪ [1;+∞]
C. Tập xác định của phương trình đã cho là [-∞;-2] ∪ [-1;+∞]
D. Bất phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Hướng dẫn giải
Bất phương trình
Tập xác định: D = [-∞;-2] ∪ [-1;+∞]
Bất phương trình
⇔ log2[x2 + 2x + 3] - log2[x2 + 3x + 2] ≤ 2[x2 + 2x + 3] - 2[x2 + 3x + 2]
⇔ log2[x2 + 2x + 3] + 2[x2 + 3x + 2] ≤ log2[x2 + 3x + 2] + 2[x2 + 2x + 3]
Xét f[t] = log2t -2t với t ∈ [-∞;-2] ∪ [-1;+∞]
Khi đó: log2[x2 + 2x + 3] - log2[x2 + 3x + 2] ≤ 2[x2 + 2x + 3] - 2[x2 + 3x + 2]
⇔ x2 + 2x + 3 ≥ x2 + 3x + 2 ⇔ x ≤ 1
So với điều kiện ta nhận nghiệm [-∞;-2] ∪ [-1;1]
Chọn B.
Câu 3: Bất phương trình log2[2x + 1] + log3[4x + 2] ≤ 2 có tập nghiệm là:
A. [0;+∞] B. [-∞;0] C. [-∞;0] D. [0;+∞]
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Xét x > 0 => 2x > 20 = 1 => 2x + 1 > 2 => log2[2x + 1] > log22 = 1 [1]
x > 0 => 4x > 40 = 1 => 4x + 2 > 2 + 1 = 3 => log3[4x + 2] > log33 = 1 [2]
Cộng vế với vế của [1] và [2] ta được: log2[2x + 1] + log3[4x + 2] > 2
Mà BPT: log2[2x + 1] + log3[4x + 2] ≤ 2 nên x > 0 [loại]
Xét x ≤ 0 => 2x ≤ 20 = 1 => 2x + 1 ≤ 2 => log2[2x + 1] ≤ log22 = 1 [3]
x ≤ 0 => 4x ≤ 40 = 1 => 4x + 2 ≤ 2 + 1 = 3 => log3[4x + 2] ≤ log33 = 1 [4]
Cộng vế với vế của [3] và [4] ta được: log2[2x + 1] + log3[4x + 2] ≤ 2 [tm]
Vậy x ≤ 0 hay x ∈ [-∞;0] .
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình
A. [√2;+∞] B. [-√2;0] ∪ [0;√2]
C. [-√2;√2] D. [0;√2]
Câu 2: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình:
A. S = [1;1+√2] . B. S = [1;9] .
C. S = [1+√2;+∞] D. S = [9;+∞] .
Câu 3: Tìm tập nghiệm của bất phương trình
A. [-∞;1] B. [0;1] ∪ [2;3] C. [0;2] ∪ [3;7] D. [0;2]
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
A. [1;2] B. [1;2] C. [-∞;2] D. [2;+∞]
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình log2[x2 - 3x + 1] ≤ 0 là:
Câu 7: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log√3-1[x2 - 2x + 1] > 0
A. Vô số. B. 0 C. 2 D. 1
Câu 8: Điều kiện xác định của bất phương trình
A. x ∈ [-1;1] . B. x ∈ [-1;0] ∪ [0;1]
C. x ∈ [-1;1] ∪ [2;+∞] D. x ∈ [-1;1]
Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2[5x - 1] ≤ m có nghiệm x ≥ 1 ?
A. m ≥ 2 B. m > 2 C. m ≤ 2 D. m < 2
Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log2[mx - x2] = 2 vô nghiệm?
A. m < 4 . B. -4 < m < 4 . C.
Câu 11: Bất phương trình log2[x2 - x - 2] ≥ log0,5[x - 1] + 1 có tập nghiệm là:
A. S = [1 - √2;+∞] B. S = [1 + √2;+∞]
C. S = [-∞;1 + √2] D. S = [-∞;1 - √2]
Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình log4[2x2 + 3x + 1] > log2[2x + 1] là:
Câu 13: Bất phương trình
Câu 14: Xác định tập nghiệm S của bất phương trình lnx2 > ln[4x - 4] .
A. S = [1;+∞]\ B. S = R\ C. S = [2;+∞] D. S = [1;+∞]
Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình log[x2 + 25] > log[10x] là
A. [0;+∞] B. R\ C. [0;5] ∪ [5;+∞]. D. R .
Câu 16: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
A. S = [2;+∞] B. [-∞;2] C.
Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình log0,8[x2 + x] < log0,8[-2x + 4] là:
A. [1;2] B. [-∞;-4] ∪ [1;2] C. [-∞;-4] ∪ [1;+∞] D. [-4;1]
Câu 18: Tập nghiệm của bất phương trình
A. [3;+∞] B. [1;+∞] C. [1;2] D. [2;+∞]
Câu 19: Nghiệm của bất phương trình
Câu 20: Tìm tập nghiệm của bất phương trình
Câu 21: Tìm m để bất phương trình 1 + log5[x2 + 1] ≥ log5[mx2 + 4x + m] thoã mãn với mọi x ∈ R.
A. -1 < m ≤ 0. B. -1 < m < 0 C. 2 < m ≤ 3 D. 2 < m < 3
Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình là:
Câu 23: Tập nghiệm của bất phương trình là:
Câu 24: Tập nghiệm của bất phương trình
Câu 25: Cho a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn 3log3[1 + √a + 3√a] > 2log2√a. Tìm phần nguyên của log2[2017a] .
A. 14. B. 22. C. 16. D. 19.
ĐÁP ÁN
1B |
2D |
3B |
4B |
5A |
6A |
7B |
8D |
9A |
10B |
11B |
12D |
13A |
14A |
15C |
16C |
17B |
18D |
19C |
20A |
21C |
22C |
23A |
24D |
25B |
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
khoi-da-dien.jsp