Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức giá trị tuyệt đối

Table of Contents

Bài toán đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số là một dạng bài tập nâng cao trong chương trình Toán 7. Vậy cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số như thế nào? Bài viết dưới đây sẽ nêu ra một số dạng toán thường gặp của bài toán đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức và phương pháp giải chi tiết của từng dạng, cùng với một số bài tập kèm lời giải giúp các em biết cách vận dụng lý thuyết vào giải bài tập.

1. Nhắc lại khái niệm về biểu thức đại số

Trong toán học ta thường gặp những biểu thức mà trong đó ngoài các số, các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có cả các chữ [đại diện cho các số, gọi là biến số]. Ta gọi những biểu thức như vậy là các biểu thức đại số.

Trong biểu thức đại số có thể có các dấu ngoặc để chỉ thứ tự thực hiện các phép tính hoặc có thể có dấu giá trị tuyệt đối.

2. Cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2.1. Dạng 1: Biểu thức chứa lũy thừa bậc chẵn

*Phương pháp giải:

Cho biểu thức M và n là số thực bất kì, khi đó ta có:

+ . Dấu “=” xảy ra khi M = 0. Khi đó GTNN của M2 là 0 khi M = 0.

+ . Dấu “=” xảy ra khi M = 0. Khi đó GTNN của M2 + n là n khi M = 0.

+ . Dấu “=” xảy ra khi M = 0. Khi đó GTNN của M2 – n là – n khi M = 0.

Ví dụ 1: Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a] A = [x – 2]2 ;

b] B = [3x – 6]2 + 7;

c] C = [2x + 8]2 – 11.

Lời giải

a] A = [x – 2]2.

Ta có A = [x – 2]2 0 với mọi x thuộc tập số thực R.

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 0 khi x = 2.

b] B = [3x – 6]2 + 7.

Ta có [3x – 6]2 0 với mọi x thuộc tập số thực R.

Suy ra B = [3x – 6]2 + 7 7 với mọi x thuộc tập số thực R.

Dấu “=” xảy ra khi 3x – 6 = 0 hay x = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 7 khi x = 2.

c] C = [2x + 8]2 – 11.

Ta có [2x + 8]2 0 với mọi x thuộc tập số thực R.

Suy ra C = [2x + 8]2 – 11  – 11 với mọi x thuộc tập số thực R.

Dấu “=” xảy ra khi 2x + 8 = 0 hay x = – 4.

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là - 11 khi x = – 4.

2.2. Dạng 2: Biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

*Phương pháp giải:

Cho x, y và a là số thực bất kì, khi đó ta có:

•  |x| 0;
•  |x| + a a; |x| -  a - a;
•  |x| + |y| |x + y|.

Ví dụ 2. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a] A = |x – 13| + 4;

b] B = |x + 8| + |2 – x|.

Lời giải

a] A = |x – 13| + 4.

Ta có |x – 13| 0 với mọi x thuộc tập số thực R.

Suy ra A = |x – 13| + 4 4 với mọi x thuộc tập số thực R.

Dấu “=” xảy ra khi x – 13 = 0 hay x = 13.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi x = 13.

b] B = |x + 8| + |2 – x|.

Do |x| + |y| |x + y|với mọi x, y thuộc tập số thực R.

Suy ra B = |x + 8| + |2 – x| |x + 8 + 2 – x| với mọi x thuộc tập số thực R.

Lại có |x + 8 + 2 – x| = |10| = 10.

Do đó B = |x + 8| + |2 – x| 10.

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 10.

3. Một số bài tập luyện tập tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 7

Bài 1. Trong các đáp án dưới đây, hãy lựa chọn đáp án ĐÚNG nhất:

1. x2  0, với mọi x thuộc R.
2. x2 = 0, với mọi x thuộc R.
3. x2 > 0, với mọi x thuộc R.
4. x2 < 0, với mọi x thuộc R.

ĐÁP ÁN

Đáp án A là đáp án đúng.  

Bài 2. Hãy chọn ra đáp án SAI trong các đáp án dưới đây:

1. |x| 0.
2. |x| + a a.
3. |x| – a a.
4. |x| + |y| |x + y|.

ĐÁP ÁN

Ta chọn đáp án C.  

Bài 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a] M = 2.[5x – 15]2 – 91;

b] N = 3.[4 - x]4 + 109.

ĐÁP ÁN

a] M = 2.[5x – 15]2 - 91.

Ta có [5x – 15]2 0 hay 2.[5x – 15]2 0 với mọi x thuộc tập số thực R.

Suy ra M = 2.[5x – 15]2 – 91  – 91 với mọi x thuộc tập số thực R.

Dấu “=” xảy ra khi 5x – 15 = 0 hay x = 3.

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là – 91 khi x = 3.

b] N = 3.[4 - x]4 + 109.

Ta có [4 - x]4 0 hay 3.[4 - x]4 0 với mọi x thuộc tập số thực R.

Suy ra N = 3.[4 - x]4 + 109 109 với mọi x thuộc tập số thực R.

Dấu “=” xảy ra khi 4 – x = 0 hay x = 4.

Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 109 khi x = 4.

Bài 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a] P = 17.|11 - x| + 34;

b] Q = |2x – 5| + |2x + 29|.

ĐÁP ÁN

a] P = 17.|11 - x| + 34.

Ta có |11 - x| 0 hay  17.|11 - x| 0 với mọi x thuộc tập số thực R.

Suy ra P = 17.|11 - x| + 34 34 với mọi x thuộc tập số thực R.

Dấu “=” xảy ra khi 11 – x = 0 hay x = 11.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 34 khi x = 11.

b] Q = |2x – 5| + |2x + 9|.

Do |x| + |y| |x + y| với mọi x, y thuộc tập số thực R.

Ta có Q = |2x – 5| + |2x + 9| = |2x – 5| + |- [2x + 9]| [vì |x| = |- x|]

             = |2x – 5| + |- 2x - 9|

Suy ra Q = |2x – 5| + |- 2x - 9| |2x – 5 – 2x – 9| với mọi x thuộc tập số thực R.

Lại có |2x – 5 – 2x – 9| = |- 14| = 14.

Do đó Q = |2x – 5| + |2x + 9| 14.

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 14.

Bài viết trên đã nêu ra một số dạng toán thường gặp của bài toán đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức và phương pháp giải chi tiết của từng dạng, hy vong các em vận dụng tốt lý thuyết vào giải các bài tập một cách thành thạo và chính xác.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay

Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay

A. Phương pháp giải

Dạng 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a [với a là số đã biết] để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b [với b là số đã biết] từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.

Dạng 2: Các biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.

Liên quan: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 7

Phương pháp: Sử dụng tính chất

Với mọi x, y ∈ Q, ta có

  |x + y| ≤ |x| + |y|

  |x – y| ≥ |x| – |y|

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 1001| + 1

Lời giải:

A = |x + 1001| + 1

Vì |x + 1001| ≥ 0 ∀ x

Suy ra |x + 1001| + 1 ≥ 0 + 1 ∀ x

Do đó A ≥ 1 ∀ x

Vậy GTNN của A là , khi |x + 1001| = 0, nghĩa là x = -1001.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất B = 5 – |5x + 3|

Lời giải:

B = 5 – |5x + 3|

Vì |5x + 3| ≥ 0 ∀ x

⇒ -|5x + 3| ≤ 0 ∀ x

⇒ -|5x + 3| + 5 ≤ 5 ∀ x

⇒ 5 – |5x + 3| ≤ 5 ∀ x

Suy ra B ≤ 5 ∀ x

Vậy GTLN của B là 5, khi |5x + 3| = 0, nghĩa là 5x + 3 = 0 ⇒ x =

Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C = |x – 1| + |x – 2019|

Lời giải:

C = |x – 1| + |x – 2019|

 = |x – 1| + |-[x – 2019]| [vì |a| = |-a|]

 = |x – 1| + |2019 – x|

Vì |x – 1| + |2019 – x| ≥ |x – 1 + 2019 – x| [theo tính chất ở phần lý thuyết]

Mà |x – 1 + 2019 – x| = |2019 – 1| = |2018| = 2018

Suy ra C ≥ 2018

Vậy GTNN của C là 2018

Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức D = |x + 5000| – |x – 3000|

Lời giải:

D = |x + 5000| – |x – 3000| ≤ |x + 5000 – [x – 3000]| [áp dụng tính chất ở phần lý thuyết]

Vì | x + 5000 – [x – 3000]| = | x + 5000 – x + 3000| = |8000| = 8000

Suy ra D ≤ 8000

Vậy GTLN của D là 8000.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức A = -2 – |1,4 – x|

A. – 2

B. -3,4

C. 2

D. -1

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = |x – 5| + 10 là

A. 5

B. 0

C. 10

D. 15

Câu 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức

là

Câu 4. Biểu thức K = 2|3x – 1| – 4 đạt giá trị nhỏ nhất khi

Câu 5. Tìm giá trị của x và y để biểu thức

có giá trị lớn nhất.

Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = |x + 5| + |x – 1| + 4

A. 0

B. 4

C. 5

D. 10

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách tìm cơ số, số mũ của lũy thừa của một số hữu tỉ cực hay, chi tiết
• Cách tìm chữ số tận cùng của lũy thừa cực hay, chi tiết
• Cách so sánh hai lũy thừa cực hay, chi tiết
• Cách tính biểu thức có lũy thừa cực hay, chi tiết
• Cách lập tỉ lệ thức từ các số đã cho cực hay, chi tiết

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán 7 hay khác:

• Giải bài tập Toán 7
• Giải SBT Toán 7
• Top 60 Đề thi Toán 7 [có đáp án]

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 7 tại banmaynuocnong.com

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 7 có đáp án