Tìm hệ số góc của tiếp tuyến bằng máy tính

1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và một điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị (C) . Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M là đường thẳng d có phương trình: $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$

2) VÍ DỤ MINH HỌA

Bài 1-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 ]
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = – \frac{1}{x} – \ln x$ tại điểm có hoành độ bằng 2
A. $\frac{1}{2} – \ln 2$
B. $ – \frac{1}{4}$
C. $ – \frac{3}{4}$
D. $\frac{1}{4}$

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$
Sử dụng máy tính Casio để tính hệ số góc tiếp tuyên tại điểm có hoành độ bằng 2 $ \Rightarrow k = f’\left( 2 \right)$

Ta thấy$k = f’\left( 2 \right) = – 0.25 = – \frac{1}{4}$ .
=>B là đáp án chính xác

Bài 2-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 ]
Cho hàm số $y = – {x^3} + 3x – 2$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
A. $y = – 2x + 1$
B. $y = 3x – 2$
C. $y = 2x + 1$
D. $y = – 3x – 2$

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$ M là giao điểm của đồ thị (C) và trục tung $ \Rightarrow $ M có tọa độ $\left( {0; – 2} \right)$
Tính $f’\left( 0 \right) = 0$

Thế vào phương trình tiếp tuyến có $y = 3\left( {x – 0} \right) – 2 \Leftrightarrow y = 3x – 2$
$ \Rightarrow $ B là đáp án chính xác

Bài 3-[Thi thử chuyên Nguyễn Thị Minh Khai lần 1 ]
Số tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ : $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ đi qua điểm M(1;0) là :
A. 4
B.2
C. 3
D. 1

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 – 6{x_0}$
Thế $f’\left( {{x_0}} \right)$ vào phương trình tiếp tuyến được $y = \left( {3x_0^2 – 6{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + x_0^3 – 3x_0^2 + 2$
Tiếp tuyến đi qua điểmM(1;0) $ \Rightarrow 0 = \left( {3x_0^2 – 6{x_0}} \right)\left( {1 – {x_0}} \right) + x_0^3 – 3x_0^2 + 2$
$ \Leftrightarrow – 2x_0^3 + 6x_0^2 – 6{x_0} + 2 = 0$
Sử dụng máy tính với lệnh MODE 5 để giải phương trình bậc 3 trên

 Ta thấy có 1 nghiệm ${x_0}$ $ \Rightarrow $ Chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất.
=>D là đáp án chính xác

Bài 4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ]
Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ có đồ thị (C). Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của với hệ số góc nhỏ nhất
A. $y = – 3x + 3$
B. $y = – 3x – 3$
C. y= -3x
D. y=0

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 – 6{x_0}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của k bằng chức năng MODE 7

Ta thấy $f’\left( {\min } \right) = f’\left( 1 \right) = – 3 \Rightarrow {x_0} = – 3$ $ \Rightarrow {y_0} = {1^3} – {3.1^2} + 2 = 0$
Thế vào phương trình tiếp tuyến có $y = – 3\left( {x – 1} \right) + 0 \Leftrightarrow y = – 3x + 3$
$ \Rightarrow $ D là đáp án chính xác

Bài 5-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ]
Cho hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}$ (C) Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của (C) đến một tiếp tuyến bất kì của (C) . Giá trị lớn nhất d có thể đạt được là :
A. $3\sqrt 3 $
B. $\sqrt 3 $
C. $\sqrt 2 $
D. $2\sqrt 2 $

GIẢI

 Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’\left( {{x_0}} \right) = – \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}$ .
Thế $k,{y_0}$ vào phương trình tiếp tuyến có dạng : $y = – \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}}$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}x + y – \frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} – \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}} = 0$
Hàm số có tiệm cận đứng x= -1 và tiệm cận ngang y = 1 nên giao điểm hai tiệm cận là I (-1;1).
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có:
$h = d\left( {I;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( { – 1} \right) + 1 – \frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} – \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}} \right)}^2} + {1^2}} }}$
Dùng máy tính Casio với lệnh MODE 7 để tính các giá trị lớn nhất này.

Ta thấy $h\left( {\max } \right) = \sqrt 2 $
$ \Rightarrow $ C là đáp án chính xác

Bài 6-[Thi HK1 THPT Việt Đức – Hà Nội ]
Hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}$ (H), M là điểm bất kì và $M \in \left( H \right)$ . Tiếp tuyến với (H) tại M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích bằng :
A. 4
B.5
C. 3
D. 2

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’\left( {{x_0}} \right) = – \frac{1}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}$ .
Thế $k,{y_0}$ vào phương trình tiếp tuyến có dạng: $y = – \frac{1}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} – 1}}{{{x_0} – 1}}$ (d)
Hàm số có tiệm cận đứng x=1 và tiệm cận ngang y=2 và giao điểm 2 tiệm cận là I (1;2)
Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận đứng $ \Rightarrow E\left( {1;\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} – 1}}} \right)$
Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận ngang $ \Rightarrow F\left( {2{x_0} – 1;2} \right)$
Độ dài $IE = \left| {\overrightarrow {IE} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 – 1} \right)}^2} + \left( {\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} – 1}} – 2} \right)} = \frac{2}{{\left| {{x_0} – 1} \right|}}$
Độ dài $IF = \sqrt {{{\left( {2{x_0} – 1 – 1} \right)}^2} + {{\left( {2 – 2} \right)}^2}} = 2\left| {{x_0} – 1} \right|$ Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có :
Diện tích $\Delta IEF$ $ = \frac{1}{2}IE.IF = \frac{1}{2}.\frac{2}{{\left| {{x_0} – 1} \right|}}.2\left| {{x_0} – 1} \right| = 2$ $ \Rightarrow $ D là đáp án chính xác

BÀI TẬP T Ự LUYỆN
Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 ]
Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{2x – 1}}$ . Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng có hệ số góc bằng :
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $ – \frac{1}{3}$
D. $ – \frac{1}{6}$

Bài 2-[Thi thử chuyên Quốc Học Huế lần 1 ]
Tìm tọa độ của tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}$ sao cho tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng $d:y = \frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$
A. $\left( {0;1} \right),\left( {2;3} \right)$
B. $\left( {1;0} \right),\left( { – 3;2} \right)$
C. $\left( { – 3;2} \right)$
D. (1;0)

Bài 3-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 ]
Cho hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{x + 2}}$ có đồ thị (C) . Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành có phương trình là :
A. y=3x
B. y= 3x-3
C. y= x-3
D. $y = \frac{1}{3}x – \frac{1}{3}$

Bài 4-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 ]
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 9x – 16$
A. y = 9x – 16
B. y = 9x + 12
C. y = 9x – 10
D. y = 9x – 12

Bài 5-[Thi thử Group nhóm toán Facebook lần 5 ]
Tìm tọa độ điểm M có hoành độ âm trên đồ thị $\left( C \right):y = \frac{1}{3}{x^2} – x + \frac{2}{3}$ sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng $y = – \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$
A. $M\left( { – 2;0} \right)$
B. $M\left( { – 3; – \frac{{16}}{3}} \right)$
C. $\left( { – 1;\frac{4}{3}} \right)$
D. $M\left( {\frac{1}{2};\frac{9}{8}} \right)$

Bài 6-[Thi tốt nghiệm THPT năm 2012]
Cho hàm số $y = \frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2}\left( C \right)$ . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$ biết $f”\left( {{x_0}} \right) = – 1$
A. $\left[ \begin{array}{l} y = – 3x – \frac{5}{4}\\ y = 3x + \frac{5}{4} \end{array} \right.$
B. $\left[ \begin{array}{l} y = 3x – \frac{5}{4}\\ y = – 3x + \frac{5}{4} \end{array} \right.$
C. $\left[ \begin{array}{l} y = – 3x – \frac{5}{4}\\ y = 3x – \frac{5}{4} \end{array} \right.$
D. $\left[ \begin{array}{l} y = – 3x + \frac{5}{4}\\ y = 3x + \frac{5}{4} \end{array} \right.$