Với loạt bài Công thức về phép quay hay nhất Toán lớp 11 sẽ giúp học viên nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu suất cao để đạt hiệu quả cao trong những bài thi môn Toán 11 .
Bài viết Công thức về phép quay hay nhất gồm 4 phần : Lý thuyết, Công thức, Ví dụ minh họa và Bài tập tự luyện có giải thuật chi tiết cụ thể giúp học viên dễ học, dễ nhớ Công thức về phép quay hay nhất Toán 11 .
Bạn đang đọc: Công thức về phép quay hay nhất | Toán lớp 11
1. Lý thuyết
* Định nghĩa : Cho điểm O và góc lượng giác. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M ’ sao cho OM ’ = OM và góc lượng giác [ OM ; OM ’ ] bằng được gọi là phép quay tâm O góc . Điểm O được gọi là tâm quay, còn được gọi là góc quay của phép quay đó .
Phép quay tâm O góc biến điểm M thành M ’ thường được kí hiệu là Q [ O, α ]
* Tính chất : – Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm – Biến đường thẳng thành đường thẳng . – Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . – Biến tam giác thành tam giác bằng nó .
– Biến đường tròn thành đường tròn có cùng nửa đường kính .
2. Công thức:
Phép quay tâm O, góc 900: Q[o;90o] [ M[x;y]] = M’[x’;y’]. Khi đó:
Phép quay tâm O, góc -900: Q[o;-90o] [ M[x;y]] = M’[x’;y’]. Khi đó:
Phép quay tâm O, góc 1800: Q[o;180o] [ M[x;y]] = M’[x’;y’]. Khi đó:
Tổng quát :
Phép quay tâm O, góc quay : Q [ O, α ] [ M [ x ; y ] ] = M ’ [ x ’ ; y ’ ] .
Phép quay tâm I [ a ; b ], góc quay : Q [ I, ∞ ] [ M [ x ; y ] ] = M ’ [ x ’ ; y ’ ] .
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A[-1;5].
a ] Tìm tọa độ điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O [ 0 ; 0 ] góc quay – 900 .
b ] Tìm tọa độ điểm C là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O [ 0 ; 0 ] góc quay 450 .
Lời giải
a ] Điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay Q [ O, – 90 o ]
Cách 1: Vẽ hình
Dựa vào vẽ, ta suy ra B[5;1].
Cách 2: Áp dụng công thức:
b ] Điểm C là ảnh của điểm A qua phép quay Q [ O, 45 o ]
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 5x – 3y + 15 = 0.
Tìm đường thẳng d ’ là ảnh của d qua phép quay tâm O [ 0 ; 0 ] góc quay – 900 .
Lời giải
Đường thẳng d ’ là ảnh của d qua phép quay Q [ O, – 90 o ]
Cách 1:
Do Q [ O, – 90 o ] [ d ] = d ’ nên d ‘ ⊥ d. Do đó phương trình d ’ có dạng : 3 x + 5 y + c = 0 .
Lấy điểm M [ – 3 ; 0 ] ∈ d, gọi M ’ [ x ’ ; y ’ ] ∈ d ’ là ảnh của điểm M qua phép quay Q [ O, – 90 o ]
Do M ‘ [ 0 ; – 3 ] ∈ d ‘ nên 3.0 + 5.3 + c = 0 ⇒ c = – 15
Vậy d ’ có phương trình là 3 x + 5 y – 15 = 0 .
Cách 2:
Với mọi điểm M [ x ; y ] ∈ d, M ’ [ x ’ ; y ’ ] ∈ d ’ sao cho Q [ O, – 90 o ] [ M ] = M ’ .
4. Bài tập tự luyện
Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M[1;-5]. Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 900
A. N[5;1] B. N[5;-1] C. N[1;5] D. N[1;-5]
Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 5x – 2y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay -1800
A. d’: 5x – 2y + 6 = 0 B. d’: 5x – 2y – 3 = 0
C. d’: 2x – 5y – 3 = 0 D. d’: 2x – 5y + 6 = 0
Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn [C]: x2 + y2 + 6x + 5 = 0. Ảnh của đường tròn [C] qua phép quay tâm O, góc quay 900 là:
A. x2 + [y – 3]=22 = 4 B. x2 + y2 + 6x – 6 = 0
C. x2 + [y + 3]=22 = 4 D. x2 + y2 + 6x – 5 = 0
Đáp án 1A, 2B, 3C
Xem thêm những Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác :
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Kiến Guru đã tổng hợp và chọn lọc cho các bạn kiến thức cần ôn tập và bài tập để vậndụng vào giải bài tập toán 11 hình học nằm ở phần chương 2 . Ở phần tổng hợp này chúng tôi phân loại các câu hỏi lý thuyết và bài tập vận dụng theo từng dạng ,mức độ khó dễ khác nhau . Nhằm giúp cho chúng ta nâng cao kiến thức của bản thân . Trong bài gồm 5 câu hỏi lý thuyết và 4 bài tập tự luận . Mời các bạn cùng xem và tham khảo nhé
I. Hướng dẫn giải bài tập hình học 11 Chương 1: Phần lí thuyết
Câu 1
Thế nào là phép biến hình, phép dời hình và phép đồng dạng? Nêu các mối liên hệ giữa phép dời hình và phép đồng dạng.
Lời giải:
+ Phép biến hình trong mặt phẳng là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong mặt phẳng xác định được duy nhất M’ trong mặt phẳng đó.
+ Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
+ Phép đồng dạng tỉ số k là phép biến hình biến hai điểm M, N bất kì thành M’; N’ sao cho M’N’ = k.MN.
+ Phép dời hình chính là phép đồng dạng với tỉ số k = 1.
Câu 2
a. Kể tên tất các các phép dời hình
b. Phép đồng dạng có phải là phép vị tự không?
Lời giải:
a. Các phép dời hình đã học là: Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay.
b. Phép đồng dạng không phải phép vị tự.
Phép vị tự là một phép đồng dạng.
Phép đồng dạng còn bao gồm các phép dời hình.
Câu 3
Hãy nêu một số tính chất đúng đối với phép dời hình mà không đúng với phép đồng dạng.
Lời giải:
– Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Phép đồng dạng không bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
– Phép dời hình biến đường tròn thành đường tròn có bán kính không đổi.
Phép đồng dạng tỉ số k biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k.R.
– Phép dời hình là phép biến tam giác thành tam giác bằng nó.
Phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó.
Câu 4
Thế nào là hai hình bằng nhau, hai hình đồng dạng với nhau? Cho ví dụ.
Lời giải:
+ Hai hình bằng nhau là nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Ví dụ: ΔABC sau khi thực hiện phép quay tâm C, góc 90º rồi lấy đối xứng qua d được ΔA1B1C1.
⇒ ΔABC =
+ Hai hình được gọi là đồng dạng nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
Ví dụ: ΔABC sau khi thực hiện liên tiếp phép quay tâm C góc 90º; đối xứng qua đường thẳng d và phép vị tự tâm B tỉ số 1,5 được
Câu 5
Cho hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng d. Hãy tìm một phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự.
a. Biến A thành chính nó;
b. Biến A thành B;
c. Biến d thành chính nó.
Lời giải:
a. Các phép biến một điểm A thành chính nó:
Phép đồng nhất:
– Phép tịnh tiến theo vectơ 0 .
– Phép quay tâm A, góc φ = 0º.
– Phép đối xứng tâm A.
– Phép vị tự tâm A, tỉ số k = 1.
– Ngoài ra còn có:
– Phép đối xứng trục mà trục đi qua A.
b. Các phép biến hình biến điểm A thành điểm B:
– Phép tịnh tiến vectơ AB .
– Phép đối xứng qua đường trung trực của đoạn thẳng AB.
– Phép đối xứng tâm qua trung điểm của AB.
– Phép quay mà tâm nằm trên đường trung trực của AB.
– Phép vị tự mà tâm là điểm chia trong hoặc chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỉ số k.
c. Phép tịnh tiến theo vectơ v //d.
– Phép đối xứng trục là đường thẳng d’ ⊥ d.
– Phép đối xứng tâm là điểm A ∈ d.
– Phép quay tâm là điểm A ∈ d, góc quay φ =180º.
– Phép vị tự tâm là điểm I ∈ d.
II. Hướng dẫn giải bài tập toán 11 ôn tập chương 1: Phần tự luận
Phần I : Câu hỏi ôn tập chương 1 SGK Toán 11 phần tự luận
Bài 1 ôn tập chương 1 SGK
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF.
a. Qua phép tịnh tiến vectơ AB
b. Qua phép đối xứng qua đường thẳng BE.
c. Qua phép quay tâm O và góc quay là
Bài 2 ôn tập chương 1 SGK
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm đối xứng của nó. Gọi I, F, J, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự tâm B, tỉ số 2.
Bài 3 ôn tập chương 1 SGK
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I[1; -3], bán kính 2. Viết phương trình ảnh của đường tròn [I; 2] qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 3 và phép đối xứng qua trục Ox.
Bài 4 ôn tập chương 1 SGK
Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB. Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn [O] dựng hình bình hành MABN. Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác định.
Phần II: Hướng dẫn giải bài tập hình học 11 ôn tập chương 1 phần tự luận
Bài 1:
Lời giải:
Bài 2:
Lời giải:
+ Lấy đối xứng qua đường thẳng IJ.
IJ là đường trung trực của AB và EF
⇒ ĐIJ[A] = B; ĐIJ [E] = F
O ∈ IJ ⇒ ĐIJ [O] = O
⇒ ĐIJ [ΔAEO] = ΔBFO
+ ΔBFO qua phép vị tự tâm B tỉ số 2
Ta có:
Suy ra
Suy ra
Vậy ảnh của ΔAEO qua phép đồng dạng theo đề bài là ΔBCD.
Bài 3:
Lời giải:
+ Gọi [I1; R1] là ảnh của [I; 2] qua phép vị tự tâm O, tỉ số 3.
+ Gọi [I2; R2] là ảnh của [I1; R1] qua phép đối xứng trục Ox
⇒ R2 = R1 = 6.
I2 đối xứng với I1 qua Ox ⇒
⇒ I2[3; 9]
Vậy [I2; R2] chính là ảnh của [I; 2] qua phép đồng dạng trên và có phương trình:
Bài 4:
Lời giải:
Vậy khi M di chuyển trên đường tròn [O; R] thì N di chuyển trên đường tròn [O’ ; R] là ảnh của [O ; R] qua phép tịnh tiến theo vecto AB
Trên đây là hướng dẫn giải bài tập toán 11 ôn tập chương 1 mà Kiến Guru đã biên soạn . Bài viết gồm 2 phần chính, phần các câu hỏi lý thuyết và phần các câu hỏi tự luận. Các câu hỏi được trích dẫn từ bài ôn tập chương của sách giáo khoa toán 11 kèm theo phần lời giải chi tiết cho từng bài. Ở bài viết này chúng tôi muốn gửi tới bạn đọc các lý thuyết cũng như cách trình bày tự luận cho những bài tập về phép biến hình của chương 1. Mong rằng bạn đọc có thêm tài liệu để hỗ trợ tốt cho việc ôn tập của mình.