Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có một số dạng toán mà chúng ta thường gặp như: Viết phương trình tiếp tiếp tại 1 điểm (tiếp điểm); Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm; Viếtphương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k,...

I. Lý thuyết cần nhớ để viết phương trình tiếp tuyến

Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

- Đạo hàm của hàm số$y=f\left(x\right)$tại điểm$x_0$là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị$\left(C\right)$của hàm số tai điểm$M\left(x_0;y_0\right)$

- Khi đó phương trình tiếp tuyến của$\left(C\right)$tại điểm$M\left(x_0;y_0\right)$là:$y=y^{}\left(x_0\right)\left(x{x}_0\right)+y_0$

- Nguyên tắc chung để viết được phương trình tiếp tuyến (PTTT) là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm${\mathrm{x0.}}^{}$

${\mathrm{II.\; Các\; dạng\; toán\; viết\; phương\; trình\; tiếp\; tuyến}}^{}$

° Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyếnTẠI1 ĐIỂM (biết Tiếp Điểm)

${\mathrm{*\; Phương\; pháp:}}^{}$

${\mathrm{-\; Bài\; toán:\; Giả\; sử\; cần\; viết\; PTTT\; của\; đồ\; thị\; (C):\; y=f(x)\; tại\; điểm\; M(x0;y0)}}^{}$

${\mathrm{+\; Bước\; 1:\; Tính\; đạo\; hàm\; y\text{'}=f\text{'}(x)\; hệ\; số\; góc\; của\; tiếp\; tuyến\; k=y\text{'}(x0)}}^{}$

${\mathrm{+\; Bước\; 2:\; PTTT\; của\; đồ\; thị\; tại\; điểm\; M(x0;y0)\; có\; dạng:\; y=y\text{'}(x0)(x-x0)+y0}}^{}$

${\mathrm{*Lưu\; ý,\; một\; số\; bài\; toán\; đưa\; về\; dạng\; này\; như:}}^{}$

- Nếu đề cho (hoành độ tiếp điểm x0) thì tìm y0bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: y0=f(x0)

- Nếu đề cho (tung độ tiếp điểm y0) thì tìm x0bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là:f(x0)=y0

-Nếu đềyêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C): y=f(x) và đường đường thẳng (d): y=ax+b. Khi đó, các hoànhđộ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (C).

- Trục hoành Ox: y=0; trục tung Oy: x=0.

* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3+2x2 tại điểm M(-1;1)

° Lời giải:

- Ta có: y'=3x2 + 4x nên suy ra y'(x0) = y'(-1) = 3.(-1)2 + 4.(-1) = -1

- Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1;1) là:

y = y'(x0)(x - x0) + y(x0) y = (-1).(x - (-1)) + 1 = -x

- Vậy PTTT của (C) tại điểm M(-1;1) là: y = -x.

* Ví dụ 2:Cho điểm M thuộc đồ thị (C):

và có hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M.

° Lời giải:

- Ta có: x0 = -1 y0 = y(-1) = 1/2.

- Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M của (C) là:

* Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành của hàm số (C): y =x4 - 2x2.

* Lời giải:

- Ta có y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1)

- Giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục hoành (Ox) là:

- Như vậy, giờ bài toán trở thành viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị thàm số tại 1 điểm.

- Với x0 = 0 y0 = 0 và k = y'(x0) = 0

Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (0; 0) có hệ số góc k = 0 là: y = 0.

- Với

và

Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (2; 0) có hệ số góc k = 42 là:

- Với

và

Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (-2; 0) có hệ số góc k = -42 là:

- Vậy có 3 tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là:

y = 0; y = 42x - 8 và y = -42x - 8

° Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến ĐI QUA 1 ĐIỂM

${\mathrm{*\; Phương\; pháp:}}^{}$

- Bài toán: Giả sử cần viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA)

* Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị

+ Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA;yA) có hệ số góc k có dạng:

d: y=k(x-xA)+yA (*)

+ Bước 2: Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

+ Bước 3: Giải hệ trên, tìm được x từ đó tìm được k và thế vào phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

* Cách 2: Sử dụng PTTT tại 1 điểm

+ Bước 1: Gọi M(x0;f(x0)) là tiếp điểm, tính hệ số góc tiếp tuyến k=f'(x0) theo x0.

+ Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y=f'(x0)(x-x0)+f(x0) (**)

Vì điểm A(xA;yA) (d) nênyA=f'(x0)(xA-x0)+f(x0) giải phương trình này tìm được x0.

+ Bước 3: Thay x0 tìm được vào phương trình (**) ta được PTTT cần viết.

* Ví dụ 1:Viết Phương trình tiếp tuyến của (C): y = -4x3 + 3x + 1 đi qua điểm A(-1;2).

° Lời giải:

- Ta có: y' = -12x2 + 3

- Đường thẳng d đi qua A(-1;2) có hệ số góc k có phương trình là: y = k(x + 1) + 2

- Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

- Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:

x = -1 hoặc x = 1/2.

Với x = -1 k = -12.(-1)2 + 3 = -9. Phương trình tiếp tuyến là: y = -9x - 7

Với x = 1/2 k = -12.(1/2)2+ 3 = 0. Phương trình tiếp tuyến là: y =2

Vậy đồ thị (C) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;2) là: y = -9x- 7 và y = 2.

* Ví dụ 2:Viết Phương trình tiếp tuyến của (C):

đi qua điểm A(-1;4).

° Lời giải:

- Điều kiện: x1; Ta có:

- Đường thẳng (d) đi qua A(-1;4) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x + 1) + 4

- Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

- Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:

- Ta thấy x = -1 (loại), x = -4 (nhận)

- Với x = -4

phương trình tiếp tuyến là:

° Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết Hệ số góc k

${\mathrm{*\; Phương\; pháp:}}^{}$

- Bài toán: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Viết PTTT của (d) với đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.

+ Bước 1: Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm và tính y'=f'(x)

+ Bước 2: Khi đó,

- Hệ số góc của tiếp tuyến là: k=f'(x0)

- Giải phương trình k=f'(x0) này ta tìm được x0, từ đó tìm được y0.

+ Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta viết được phương trình tiếp tuyến tương ứng:

(d): y=y'0(x-x0)+y0

* Lưu ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng, ví dụ, d//Δ: y=ax+bk=a. Sau khi lập được PTTT thì cần kiểm tra lại tiếp tuyến có trùng với đường thẳngΔ hay không? nếu trùng thì loại kết quả đó.

Tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng, ví dụ, dΔ:y=ax+bk.a=-1k=-1/a.

Tiếp tuyến tạo với trục hoành 1 gócα thì k=±tanα.

* Tổng quát: Tiếp tuyến tạo với đường thẳngΔ:y=ax+b một gócα, khi đó:

* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 - 3x + 2 có hệ số góc bằng 9.

° Lời giải:

- Ta có: y' = 3x2 - 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x0;y0)

Hệ số góc của tiếp tuyến là: k = y'(x0)

- Với x0 = 2 y0 = (2)3 - 3.(2) + 2 = 4 ta có tiếp điểm M1(2;4)

Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1:

- Với x0= -2 y0= (-2)3- 3.(-2) + 2 = 0ta có tiếp điểm M2(-2;0)

Phương trình tiếp tuyến tại M2là d2:

- Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là:

(d1): y = 9x - 14 và (d2): y = 9x + 18.

* Ví dụ 2:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):

song sóng với đường thẳngΔ: 3x - y + 2 = 0.

° Lời giải:

- Ta có:

; và

- Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x0;y0), khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là:

- Vì tiếp tuyến song song với đường thẳngΔ: y = 3x + 2 nên ta có:

Với x0 = -1 thì

ta có tiếp điểm M1(-1;-1)

- Phương trình tiếp tuyến tại M1 là (d1): y = 3(x + 1) - 1 y = 3x + 2

Đối chiếu với phương trình đườngΔ ta thấyd1Δ nên loại.

Với x0= -3 thì

ta có tiếp điểm M2(-3;5)

- Phương trình tiếp tuyến tại M2là (d2): y = 3(x + 3) + 5 y = 3x + 14

Vậy đồ thị (C) có 1 tiếp tuyến // vớiΔ là (d2):y = 3x + 14

* Ví dụ 3: Cho hàm số (C): y = -x4 - x2 + 6. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (Δ):

* Lời giải:

- Gọi đườn thẳng (d) có hệ số góc k là tiếp tuyến của (C) vuông góc với (Δ) có dạng: y = kx + b

- Vì tiếp tuyến (d) vuông góc vớiđường thẳng (Δ):

nên suy ra k = -6; khi đó pttt (d) có dạng: y = -6x + b.

- Để (d) tiếp xúc với (C) thì hệ sau phải có nghiệm:

phương trình tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc với (Δ) là: y = -6x + 10.

* Cách giải khác:

- Ta có hệ số góc của tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) là y' = -4x3 - 2x.

- Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với(Δ):

nên:

(vì 2x2 + 2x + 3 > 0, x).

- Với x = 1 suy ra y = -14 - 12 + 6 = 4 và y'(1) = -4.13 - 2.1 = -6.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;4) là: y = -6(x - 1) + 4 = -6x + 10.

° Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến có chứa tham số m

${\mathrm{*\; Phương\; pháp:}}^{}$

-Vận dụng phương pháp giải một trong các dạng toán ở trên sau đó giải và biện luận để tìm giá trị của tham số thỏa yêu cầu bài toán.

* Ví dụ 1:Cho hàm số y = x3 - 3x2 có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳngΔ: y = (m2 - 4)x + 2m - 1.

° Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: y' = 3x2 - 6x

- Điểm M có hoành độ x0 = 1

. Vậy điểm tọa độ điểm M(1;-2)

- Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(1;-2) của (C) có dạng:

y - y0 = y'(x0)(x - x0) y + 2 = (3.12 - 6.1)(x - 1) y = -3x + 1

- Khi đó để (d) // Δ

- Khi đó pt đường thẳngΔ: y = -3x + 3

- Vậy, với m = -1 thì tiếp tuyến (d) của (C) tại M(1;-2) song sóng vớiΔ.

* Ví dụ 2:Cho hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 + m + 2 có đồ thị (C). Gọi A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của m để tiếp tuyến của (C) tại A vuông góc với đường thẳngΔ: x - 4y + 1 = 0.

° Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: y' = 4x3 - 4(m+1)x

- Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm A,

khi đó hệ số góc của (d) là: k = y'(1) = 4 - 4(m + 1) = -4m

- Theo đề ra:

- Do đó: d Δ k = -4 -4m = -4 m = 1