- LG a
- LG b
- LG c
Cho hai hàm số \[y = f\left[ x \right]\] và \[y = g\left[ x \right]\] xác định trên \[R\]. Đặt \[S\left[ x \right] = f\left[ x \right] + g\left[ x \right]\] và \[P\left[ x \right] = f\left[ x \right]g\left[ x \right].\] Chứng minh rằng :
LG a
Nếu \[y = f\left[ x \right]\] và \[y = g\left[ x \right]\] là những hàm số chẵn thì \[y = S\left[ x \right]\] và \[y = P\left[ x \right]\] cũng là những hàm số chẵn.
Lời giải chi tiết:
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] và \[y = g\left[ x \right]\] xác định trên \[\mathbb{R}\] nên các hàm số \[y = S\left[ x \right]\] và \[y = P\left[ x \right]\] cũng xác định trên \[\mathbb{R}\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}S\left[ { - x} \right] = f\left[ { - x} \right] + g\left[ { - x} \right]\\ = f\left[ x \right] + g\left[ x \right] = S\left[ x \right]\end{array}\]
Do đó \[y = S\left[ x \right]\] là hàm số chẵn.
\[\begin{array}{l}P\left[ { - x} \right] = f\left[ { - x} \right].g\left[ { - x} \right]\\ = f\left[ x \right].g\left[ x \right] = P\left[ x \right]\end{array}\]
Do đó \[y = P\left[ x \right]\] là hàm số chẵn.
LG b
Nếu \[y = f\left[ x \right]\] và \[y = g\left[ x \right]\] là những hàm số lẻ thì \[y = S\left[ x \right]\] là hàm số lẻ và \[y = P\left[ x \right]\] là hàm số chẵn.
Lời giải chi tiết:
Với x tùy ý thuộc R, ta có : \[f\left[ { - x} \right] = - f\left[ x \right]\] và \[g\left[ { - x} \right] = - g\left[ x \right]\] [vì f và g là những hàm số lẻ] ; do đó
\[\eqalign{
& S\left[ { - x} \right] = f\left[ { - x} \right] + g\left[ { - x} \right] \cr
& = - f\left[ x \right] - g\left[ x \right] \cr
& = - \left[ {f\left[ x \right] + g\left[ x \right]} \right] \cr
& = - S\left[ x \right] \cr} \]
\[\eqalign{
& P\left[ { - x} \right] = f\left[ { - x} \right]g\left[ { - x} \right] \cr
& = \left[ { - f\left[ x \right]} \right]\left[ { - g\left[ x \right]} \right] \cr
& = f\left[ x \right]g\left[ x \right] \cr
& = P\left[ x \right] \cr} \]
Vậy \[y = S[x]\] là hàm số lẻ và \[y = P[x]\] là hàm số chẵn.
LG c
Nếu \[y = f\left[ x \right]\] là hàm số chẵn, \[y = g\left[ x \right]\] là hàm số lẻ thì \[y = P\left[ x \right]\] là hàm số lẻ.
Lời giải chi tiết:
Với \[x\] tùy ý thuộc \[R\], ta có : \[f\left[ { - x} \right] = f\left[ x \right]\] và \[g\left[ { - x} \right] = - g\left[ x \right]\] [vì \[f\] là hàm số chẵn và \[g\] là hàm số lẻ] ; do đó
\[P\left[ { - x} \right] = f\left[ { - x} \right]g\left[ { - x} \right] \]
\[= f\left[ x \right]\left[ { - g\left[ x \right]} \right]\]
\[= - f\left[ x \right]g\left[ x \right]\]
\[= - P\left[ x \right].\]
Vậy \[y = P[x]\] là hàm số lẻ.