Đề bài
Chứng minh rằng trong mỗi tam giác, khoảng cách d từ tâm đường tròn nội tiếp đến tâm đường tròn ngoại tiếp thỏa mãn hệ thức:
\[{d^2} = {R^2} - 2Rr\]. [ Hệ thức Ơ-le]
Lời giải chi tiết
[h.58].
Xét tam giác \[ABC\] nội tiếp đường tròn \[[O ; R]\] và ngoại tiếp đường tròn \[[I ; r]\].
Gọi \[D, E\] lần lượt là điểm chính giữa cung\[\stackrel\frown {BC}\] và cung \[\stackrel\frown {AC}\] thì \[OD \bot BC , \widehat {BAD} = \dfrac{{\widehat A}}{2}\].
Mặt khác , ta có
\[\widehat {BID} = \dfrac{1}{2}\][sđ\[\stackrel\frown {BD}\] +sđ \[\stackrel\frown {AE}\]] \]
\[= \dfrac{1}{2}\][sđ \[\stackrel\frown {DC}\] + sđ \[\stackrel\frown {EC}\]] = \[\dfrac{1}{2}\][sđ\[\stackrel\frown {DCE}\] ].
Vậy \[\widehat {BID} = \widehat {IBD}\], suy ra \[ID = BD = 2R\sin \dfrac{A}{2}\].
Trong tam giác OID ta có \[O{I^2} = I{D^2} + O{D^2} - 2\overrightarrow {DI} .\overrightarrow {DO} \].\[ \Rightarrow O{I^2} = 4R{\sin ^2}\dfrac{A}{2} + {R^2} - 2\overrightarrow {DO} .\overrightarrow {DH} \] [với \[IH \bot OD\]].
Dễ thấy
\[\overrightarrow {DO} .\overrightarrow {DH} = DO.[DJ + JH]\]
\[= R\left[ {BD\sin \dfrac{A}{2} + r} \right] \]
\[= R\left[ {2R{{\sin }^2}\dfrac{A}{2} + r} \right]\]
\[= 2{R^2}{\sin ^2}\dfrac{A}{2} + Rr\].
Từ đó suy ra \[{d^2} = {R^2} - Rr\].