Bài 3 hình hoc sgk trang 115 toán 8

Bài 3. Cho hình thoi \(ABCD\) có \(\widehat A = {60^0}\). Gọi \(E, F, G, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DA\). Chứng minh rằng đa giác \(EBFGDH\) là lục giác đều.

Giải

\(ABCD\) là hình thoi, \(\widehat A = {60^0}\) nên \(\widehat B = {120^0}\), \(\widehat D = {120^0}\).

\(\Delta EAH\) là tam giác đều (vì tam giác cân có một góc \(60^0\) nên \(\widehat {BEH} = {120^0}\),\(\widehat {DHE} = {120^0}\).

Tương tự: \(\widehat {BFG} = {120^0},\widehat{F GD} = {120^0}\)

Vậy đa giác \(EBFGDH\) có tất cả các góc bằng nhau, mặt khác \(EBFGDH\) cũng có tất cả các cạnh bằng nhau ( bằng nửa cạnh hình thoi)

Đề bài

Cho hình thoi ABCD có góc ∠A = 60\(^0\). Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng đa giác EBFGDH là lục giác đều.

Hướng dẫn giải

Góc A = \(60^0\) và AB = AD nên \(\triangle\)ABD đều.

\=> BD = AB = AD.

EH là đường trung bình của \(\triangle\)ABD.

\=> EH = \(\dfrac{BD}{2}\)

FG là đường trung bình của \(\triangle\)BCD.

\=> FG = \(\dfrac{BD}{2}\)

Lại có :

BE = \(\dfrac{AB}{2}\) BF = \(\dfrac{BC}{2}\)

DH = \(\dfrac{AD}{2}\) DG = \(\dfrac{DC}{2}\) (gt)

Do đó : BE = EH = HD = DG = GF = FB (1)

\(\triangle\)AEH có : \(\widehat{A}=60^0\) và AE = AH nên là tam giác đều.

\=> \(\widehat{AEH}=60^0\) \=> \(\widehat{BEH}=120^0\)

Tương tự : \(\widehat{EHD}=120^0,\widehat{DGF}=120^0,\widehat{BFG}=120^0\)

Mặt khác : \(\widehat{B}=60^0,\widehat{D}=120^0\)

Do đó : \(\widehat{E}=\widehat{B}=\widehat{F}=\widehat{G}=\widehat{D}=\widehat{H}=120^0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra : Lục giác EBFGDH là lục giác đều.

Cho hình thoi \(ABCD\) có góc \(\widehat{A} = 60^o.\) Gọi \(E, \,F,\, G,\, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\, BC,\, CD,\, DA.\) Chứng minh rằng đa giác \(EBFGDH\) là lục giác đều.

Hướng dẫn:

Bước 1: Chứng minh \(EB = BF = GD = DH = EH = FG\)

Bước 2: Chứng minh \(\widehat{EBF} = \widehat{HDG} = \widehat{HEB} = \widehat{BFG} = \widehat{FGD} = \widehat{DHE}\)

Bài giải \(ABCD\) là hình thoi (giả thiết) \(\Rightarrow AB = BC = CD = DA\) (tính chất) Mà \(E,\, F,\, G,\, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\, BC,\, CD,\, DA\) \(\Rightarrow EB = BF = GD = DH = \dfrac{AB}{2} \,\,\,\, (1)\) Xét \(\triangle{ABD}\) có: \(AB = AD\) (chứng minh trên) \(\widehat{A} = 60^o\) (giả thiết) \(\Rightarrow \triangle{ABD}\) đều \(\Rightarrow AB = BD = DA \,\,\,\,\, (2)\) Lại có: \(E,\, H\) lần lượt là trung điểm của \(AB, \, AD\) (giả thiết) \(\Rightarrow EH\) là đường trung bình của \(\triangle{ABD}\) \(\Rightarrow EH = \dfrac{BD}{2} \) Tương tự ta chứng minh được: \(FG = \dfrac{BD}{2}\) \(\Rightarrow EH = FG = \dfrac{BD}{2} \,\,\,\,\,(3)\) Từ \((2)\) và \((3) \Rightarrow EH = FG = \dfrac{AB}{2} \,\,\,\, (4)\) Từ \((1)\) và \((4) \Rightarrow EB = BF = GD = DH = EH = FG \,\,\,\, (*)\) Tương tự ta chứng minh được: \(\triangle{CBD},\, \triangle{AEH},\, \triangle{CFG}\) là các tam giác đều nên: \(\widehat{EBF} = \widehat{HDG} = 120^o\) \(\widehat{HEB} = \widehat{BFG} = \widehat{FGD} = \widehat{DHE} = 120^o\) (các góc ngoài của hai tam giác đều \(AEH\) và \(FGC\)) Vậy đa giác \(EBFGDH\) có 6 góc bằng nhau \((**)\) Từ \((*)\) và \((**) \Rightarrow EBFGDH\) là lục giác đều (đpcm)

Xem video bài giảng và làm thêm bài luyện tập về bài học này ở đây để học tốt hơn.