Bài tập chứng minh mặt phẳng song song mặt phẳng
|
Bài tập tự luận hai mặt phẳng song song có lời giải chi tiết được viết dưới dạng file word gồm 29 trang. Bài tập bao gồm các dạng:chứng minh hai mặt phẳng song song; xác định thiết diện của mặt phẳng với hình chóp khi biết một mặt phẳng với một mặt phẳng cho trước; một số ứng dụng của định lí thales. Các bạn xem và tải về ở dưới. Với cách giải các dạng toán về hai mặt phẳng song song môn Toán lớp 11 Hình học gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về hai mặt phẳng song song lớp 11. Mời các bạn đón xem: Hai mặt phẳng song song và cách giải bài tập - Toán lớp 11
1. Định nghĩa hai mặt phẳng song song Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung (P)//(Q)⇔(P)∩(Q)=∅ Trong thực tế, chúng ta thường gặp hình ảnh của những mặt phẳng song song: các bậc cầu thang, hai mặt đối diện của hộp diêm,… 2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song - Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q). Tức là: a⊂(P),b⊂(P)a∩b=Ma//(Q),b//(Q)⇒(P)//(Q) Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. - Hệ quả:
Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song. Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau. 3. Định lí Ta-lét trong không gian - Định lí: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn tương ứng tỉ lệ. Có nghĩa là: Nếu ba mặt phẳng đôi một song song (P), (Q), (R) cắt hai đường thẳng a và a’ lần lượt tại A, B, C và A’, B’, C’ thì: ABA'B'=BCB'C'=CAC'A' - Định lí Ta-lét đảo: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và a’. Lấy các điểm phân biệt A, B, C trên a và A’, B’, C’ trên a’ sao cho: ABA'B'=BCB'C'=CAC'A' Khi đó, ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng. 4. Hình lăng trụ và hình hộp
Trong đó: - Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng trụ - Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng trụ - Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác … Tính chất: - Các cạnh bên song song và bằng nhau - Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành - Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau (Hai đáy là hai đa giác bằng nhau)
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp. Như vậy, hình hộp có 6 mặt (bốn mặt bên và hai mặt đáy) đều là những hình bình hành. Mỗi mặt có một mặt song song với nó. Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện. Hình hộp có 8 đỉnh, hai đỉnh của hình hộp gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng nằm trên một mặt nào. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo hình hộp. Hình hộp có 12 cạnh. Hai cạnh gọi là hai cạnh đối diện nếu chúng song song không cùng nằm trên bất kì một mặt nào của hình hộp. 5. Hình chóp cụt - Định nghĩa Cho hình chóp S.A1A2...An và một mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA1,SA2,...,SAn lần lượt tại A'1,A'2,...,A'n. Hình tạo bởi thiết diện A'1A'2...A'n và đáy A1A2...An của hình chóp cùng với các tứ giác A'1A'2A2A1, A'2A'3A3A2, …, A'nA'1A1An gọi là một hình chóp cụt. - Trong đó: + Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt. + Thiết diện A'1A'2...A'n gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt. + Các tứ giác A'1A'2A2A1, A'2A'3A3A2, …, A'nA'1A1An gọi là các mặt bên của hình chóp cụt. + Các đoạn thẳng A1A'1,...,AnA'n gọi là các cạnh bên của hình chóp cụt. - Tính chất: + Hai đáy là hai đa giác có cạnh tương ứng song song và tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau. + Các mặt bên là những hình thang. + Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm. II. Các dạng bài tập về hai mặt phẳng song song Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp giải: Thực hiện một trong hai cách sau: - Chứng minh trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia. Tức là: a⊂(α),b⊂(α)a∩b=Ia//(β)b//(β) ⇒(α)//(β) - Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với mặt phẳng thứ ba (α)//(γ)(β)//(γ)⇒(α)//(β) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh SA, SD. Chứng minh (OMN) // (SBC). Lời giải: Ta có: M, O lần lượt là trung điểm SA, AC Nên OM // SC (đường trung bình trong tam giác ASC) Vậy OM//SCSC⊂(SBC) ⇒OM//(SBC) Tương tự được ON // SB (đường trung bình trong tam giác SBD) Vậy ON//SBSB⊂(SBC) ⇒ON//(SBC) Do đó: OM//(SBC)ON//(SBC)OM∩ON=O ⇒(OMN)//(SBC) Ví dụ 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minh:
Lời giải:
⇒AD//(BCE) Tương tự: AF//BEBE⊂(BCE) ⇒AF//(BCE) Mà AD⊂(ADF)AF⊂(ADF) Vậy (ADF)//(BCE)
Theo giả thiết ta có: AM = BN Ta có MM’ // CD⇒AM'AD=AMAC NN’ // AB ⇒AN'AF=BNBF Do đó: AM'AD=AN'AF Suy ra: M’N’ // DF (Định lý Ta – lét) Suy ra: DF // (MM’N’N) Lại có: NN'//AB⇒NN'//EF Suy ra: EF // (MM’N’N) Vậy DF//(MM'N'N)EF//(MM'N'N) ⇒(DEF)//(MM'N'N) Dạng 2: Xác định thiết diện của (α) với hình chóp khi biết (α) với một mặt phẳng β cho trước Phương pháp giải: Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau - Khi (α)//(β) thì α sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong β và ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng. - Tìm đường thẳng d nằm trong β và xét các mặt phẳng có trong hình chóp mà chứa d, khi đó (α) // d nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa d theo các giao tuyến song song với d. Ví dụ minh họa Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi đi qua MN và song song với mặt phẳng (SAD). Thiết diện là hình gì? Lời giải: Ta có: M∈(SAB)∩(α)(SAB)∩(SAD)=SA ⇒(SAB)∩(α)=MK//SA,K∈SB Tương tự: N∈(SCD)∩(α)(α)//(SAD)(SCD)∩(SAD)=SD ⇒(SCD)∩(α)=NH//SD,H∈SC Dễ thấy HK=(α)∩(SBC). Thiết diện là tứ giác MNHK. Ba mặt phẳng (ABCD), (SBC), (α) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là MN, HK, BC Mà MN // BC Suy ra: MN // HK Vậy thiết diện là hình thang MNHK. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b. Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng di động song song với mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC và AI = x (0 < x < a).
Lời giải:
Ta có: I∈(α)∩(ABD)(α)//(SBD)(ABD)∩(SBD)=BD ⇒(α)∩(ABD)=MN//BD,I∈MN Tương tự: N∈(α)∩(SAD)(α)//(SBD)(SAD)∩(SBD)=SD ⇒(SAD)∩(α)=NP//SD,P∈SA Thiết diện là tam giác MNP Do (α)//(SBD)(SAB)∩(SBD)=SB(SAB)∩(α)=MP ⇒MP//SB Hai tam giác MNP và BSD có các cặp cạnh tương ứng song song nên chúng đồng dạng. Mà SDB đều nên tam giác MNP đều. Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) là tam giác đều MNP. TH2: Điểm I thuộc đoạn OC Tương tự TH1 ta được thiết diện của hình chóp cắt bởi α là tam giác đều HKL. b. TH1: I thuộc đoạn OA SSBD=BD234=b234SMNPSSBD=MNBD2 Do MN // BD⇒MNBD=AIAO=2xa ⇒SMNP=2xa2.SSBD=b2x23a2 TH2: I thuộc đoạn OC, tương tự có: SMNP=HLBD2SSBD=2(a−x)a2b234=b2(a−x)23a2 Vậy Std=b2x23a,I∈OAb2(a−x)23a2,I∈OC Dạng 3: Một số ứng dụng của định lý Ta – lét Phương pháp giải: Định lý Ta – lét thường được ứng dụng nhiều trong các bài toán tỉ số hay các bài toán chứng minh đường thẳng song song với một mặt phẳng cố định. Ví dụ minh họa Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a. Điểm M, N lần lượt trên AD’, BD sao cho AM = DN = x (0
Lời giải:
Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và song song với (A’D’CB) Giả sử (Q) cắt BD tại N’ Theo định lí Thales có: AMAD'=DN'DB (1) Vì các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh a nên AD'=DB=a2 Từ (1) ta có AM = DN’ Mà DN = AM Nên DN’ = DN ⇒N'≡N⇒MN⊂(Q) Mà (Q)//(A'D'CB)MN⊂(Q) Suy ra MN // (A’D’CB) Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định (A’D’CB). b. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là trung điểm AD Ta có: DN=x=a23,DO=a22 Suy ra: DN=23DO Suy ra N là trọng tâm tam giác ACD Tương tự M là trọng tâm tam giác A’AD Có: INIC=13;IMIA'=13 ⇒INIC=IMIA' Suy ra: MN // A’C (định lý Ta – lét) Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. M, N là các điểm thay đổi trên AB, CD sao cho: AMMB=CNND
Lời giải:
Gọi α là mặt phẳng đi qua AC và song song với BD thì (α) cố định Suy ra MN luôn song song với (α) cố định.
Suy ra MP // BC Nên BC // (MNP) Ta có: N∈(MNP)∩(BCD)BC//(MNP)BC⊂(BCD) ⇒(BCD)∩(MNP)=NQ//BC, Q∈BD Thiết diện là tứ giác MPNQ Xét trường hợp APPC≠k Trong (ABC) gọi R là giao điểm của BC và MP Trong (BCD) gọi Q là giao điểm NR và BD Thiết diện là tứ giác MPNQ.
Ta có: SMNPSMPNQ=PKPQ Do AMNB=CNND nên theo định lý Thales đảo thì AC, MN, BD lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và PQ cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại P, K, Q Áp dụng định lý Thales có: PKKQ=AMMB=CNND=k⇒PKPQ=PKPK+KQ=kk+1 Dạng 4: Chứng minh các đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng hoặc bốn điểm đồng phẳng Phương pháp giải: - Để chứng minh các đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng ta chứng minh các đường thẳng đó cùng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng. - Để chứng minh 4 điểm đồng phẳng ta chứng minh các điểm đó thuộc các đường thẳng mà các đường thẳng đó đi qua điểm và song song với một mặt phẳng nào đó. - Ngoài ra ta có thể sử dụng định lý Menelaus trong không gian để chứng minh bốn điểm đồng phẳng. Định lý Menelaus Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là các điểm trên các đường thẳng AB, BC, CD, DA của tứ diện ABCD thì M, N, P, Q đồng phẳng khi và chỉ khi MAMB.NBNC.PCPD.QDQA=1 |
