Bài tập tích phân bội ba có lời giải năm 2024
Cần tính $\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz $ với $Q$ là miền được giới hạn bởi các mặt $z=z_{1} (x,y);{\rm \; }z=z_{2} (x,y)$ (giả sử $z_{1} (x,y);{\rm \; }z_{2} (x,y)$ liên tục, đơn trị, $z_{1} (x,y)\le z_{2} (x,y)$ trên miền $D$ là hình chiếu của $Q$ lên mặt phẳng $Oxy$ và giả sử $D$ được giới hạn bởi các đường $y=y_{1} (x);{\rm \; }y=y_{2} (x)$ ($y_{1} (x);{\rm \; }y_{2} (x)$ liên tục, đơn trị, $y_{1} (x)\le y_{2} (x)$ trên ${\rm [}a,b{\rm ]}$ (chú ý ${\rm [}a,b{\rm ]}$ là hình chiếu của $D$ lên trục $Ox$)). Giả sử $f(x,y,z)$ liên tục trên $Q$. Như vậy, $Q$ được xác định bởi các bất đẳng thức kép: $\left\{\begin{array}{l} {{\rm a}\le {\rm x}\le {\rm b}} \\ {{\rm y}_{{\rm 1}} {\rm (x)}\le {\rm y}\le {\rm y}_{{\rm 2}} {\rm (x)}} \\ {{\rm z}_{{\rm 1}} {\rm (x,y)}\le {\rm z}\le {\rm z}_{{\rm 2}} {\rm (x,y)}} \end{array}\right.$ Do đó ta có công thức: $$\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz =\int _{a}{b}\left\{\int _{y_{1} (x)}{y_{2} (x)}\left[\int _{z_{1} (x,y)}{z_{2} (x,y)}f(x,y,z)dz \right]dy \right\} dx.$$ Hay $$\iiint\limits_{Q}f(x,y,z)dxdydz =\int _{a}{b}dx\int _{y_{1} (x)}{y_{2} (x)}dy\int _{z_{1} (x,y)}{z_{2} (x,y)}f(x,y,z)dz\label{9.2.2}\tag{2}.$$ Công thức \eqref{9.2.2} còn có thể viết: $$\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz =\iint\limits_{D}dxdy \int _{z_{1} (x,y)}{z_{2} (x,y)}f(x,y,z)dz\label{9.2.3}\tag{3}.$$Hay $$\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz =\int _{a}{b}dx\iint\limits _{S(x)}f(x,y,z)dydz\label{9.2.4}\tag{4}.$$ Với $S(x)$ là diện tích thiết diện của $Q$ khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x\in {\rm [}a,b{\rm ]}.$ Tính tích phân $I=\iiint\limits _{Q}(1-x-y)dxdydz $ với miền $Q$ được giới hạn bởi các mặt $x+y+z=1;{\rm \; }x=0;{\rm \; }y=0;{\rm \; }z=0$. Tính tích phân$\iiint\limits _{Q}zdxdydz $ với miền $Q$ được giới hạn bởi các mặt $z=0;{\rm \; }z=\sqrt{R^{2} -x^{2} -y^{2} }$. Những trường hợp khó vẽ hình biểu diễn miền $Q$ thì ta phải cố gắng tưởng tượng để đưa ra được miền $Q$, hình chiếu của nó xuống mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (miền $D$): $Q$ là nửa hình cầu tâm $O(0,0,0)$ bán kính $R$ nằm trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (ứng với $z\ge 0)$ còn $D$ là hình tròn tâm $O(0,0)$ bán kính $R$, do đó ta nên áp dụng công thức \eqref{9.2.3} $$\iiint\limits _{Q}zdxdydz =\iint\limits _{x^{2} +y^{2} \le R^{2} }dxdy \int _{0}{\sqrt{R{2} -x^{2} -y^{2} } }zdz =\dfrac{1}{2} \iint\limits _{x^{2} +y^{2} \le R^{2} }z^{2} \Big|_{0}{\sqrt{R{2} -x^{2} -y^{2} } } dxdy. $$ Chuyển sang hệ tọa độ cực ta có $$\iiint\limits_{Q}zdxdydz =\dfrac{1}{2} \int _{0}{2\pi }d\varphi \int _{0}{R}(R^{2} -r^{2} ) rdr=\dfrac{\pi R^{4} }{4}.$$
Was this document helpful? Was this document helpful? BK-Đại cương môn phái Pham Thanh Tung Bài tập tích phân bội ba Bài 1: Tính các tích phân bội ba sau: 22 1 04 , : 2 01 V x zdxdydz V x y x z x y − − 23 , :1 2,2 3,3 4 V x y dxdydz V x y z 2 2 2 , : 0 1,0 1 ,0 V xyzdxdydz V x y x z x y − + , :3 1,3 2 2, 0,0 1 V xdxdydz V x y x y y z x y+ + − − Bài 2: Tính các tích phân bội ba sau: , 𝑉 giới hạn bởi 1 2 2, 1 2 2,0 3x y x y z z − + − + + , 𝑉 giới hạn bởi 3, 2 1, 4 2x y z x y z x y z+ + \= + − \= + + \= ( ) 2 4 3 , :1 2,0 2,0 2 V x y xyz dxdydz V x xy z− ( ) 2 3 2 , : 1, 1, 1 V x y z dxdydz V x y y z z x+ + − − + Bài 3: Tính các tích phân bội ba sau: ( ) 2 2 2 V x y z dxdydz+ , 𝑉 giới hạn bởi , 𝑉 giới hạn bởi ( ) 2 2 2 4 , 2z x y z\= + \= , 𝑉 giới hạn bởi , 𝑉 giới hạn bởi 2 4 , 0, 0, 4y x x y z z\= − − \= \= \=
|