Bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất thcs năm 2024
|
- Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực về Toán, từ đó xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải Toán. - Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng như của học sinh. - Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng Toán khó ở cấp học THCS. - Với nội dung của đề tài học sinh có thể tự học, tự nghiên cứu và nội dung không những giới hạn ở cấp THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn. 2. Cơ sở thực tiễn: - Thực tế chương trình Toán THCS chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung và phương pháp của một số dạng Toán khó, thường chỉ mang tính chất giới thiệu chưa sâu. - Nhiều học sinh muốn tìm hiểu thêm còn lúng túng trong tài liệu nghiên cứu. - Việc tìm hiểu của giáo viên về một số đề tài còn chưa tập trung trong một tài liệu cụ thể, do đó làm mất nhiều thời gian. - Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ hơn một số dạng Toán để xây dựng chuyên đề về Toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học tốt hơn. - Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một định hướng của ngành. Từ những cơ sở và nhận thức trên và cũng để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và nhiều học sinh trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Phương pháp giải những dạng toán khó đã được xây dựng. Một trong những dạng toán đó là: Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dành cho học sinh khối 8,9. Tuy nhiên việc biên soạn các bài toán này trong các cuốn sách chưa hoàn chỉnh và còn hạn chế về phương pháp giải. Bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có ý nghĩa quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Đề tài này sẽ trình bày một số phương pháp thường gặp để giải các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Do đó trong quá trình dạy học bản thân luôn cố gắng tìm tòi và nghiên cứu tài liệu, tích lũy kinh nghiệm trong nhiều năm để viết nên sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dành cho học sinh khối 8,9”. II. Mục đích nghiên cứu: Khi viết sáng kiến kinh nghiệm này tôi luôn cố gắng hệ thống, xây dựng cô đọng và đầy đủ những phương pháp giải, phát triển bài toán nhằm nâng cao năng lực tự học của học sinh, ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác. Từ đó rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, phân tích bài toán, tránh những sai lầm, ngộ nhận trong suy luận logic, phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán. III . Đối tượng nghiên cứu: IV. Phạm vi nghiên cứu: + Các tiết dạy trên lớp, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8,9 từ năm 2011 đến nay. + Tham khảo tài liệu, chuẩn kiến thức của bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, các loại sách tham khảo. + Các tiết sinh hoạt chuyên đề trong tổ chuyên môn. Học sinh khối lớp 8,9.
- Định nghĩa một số bất đẳng thức cơ bản…. - Hệ thống hóa kiến thức và phương pháp giải toán về bất đẳng thức cấp trung học cơ sở. - Đưa ra được những kĩ năng cần thiết khi biến đổi bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN bằng bất đẳng thức luôn đúng. - Tạo ra sự đam mê tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo trong việc dạy học toán VI.Thời gian thực hiện - Thực hiện tháng 8 năm 2019 - Số liệu khảo sát trước khi thực hiện đề tài Trước khi viết đề tài tôi tiến hành làm bài kiểm tra 15 em học sinh Toán khối 9 của trường thống kê được kết quả như sau: Khối Điểm Số lượng 12 34 56 78 910 SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 9 15 8 53.3% 5 33.3% 2 13.3%
CHƯƠNG I: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI.
Để thực hiện đề tài này tôi nghiên cứu trong các tài liệu và từ thực tế.
-Trong nhiều năm liền tôi đã tích cực tham khảo và nghiên cứu tài liệu liên quan đến chủ đề của sáng kiến kinh nghiệm, tích góp những nội dung, những kinh nghiệm quan trọng về bất đẳng thức theo trình tự từ lớp 69 cho từng dạng bài toán riêng. b.Nghiên cứu từ thực tế: b.1 Điều tra từ thực tế: Trước khi viết đề tài tôi tiến hành làm bài kiểm tra 15 em học sinh Toán khối 8,9 của trường THCS. b.2 Phân tích tổng hợp giữa lý luận và thực tiễn: -Trên cơ sở những lý luận về đổi mới phương pháp dạy học và thực tế học sinh của trường tôi tiến hành nghiên cứu nội dung chứng minh bất đẳng thức và thiết kế hoạt động dạy học này theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh và khi giảng dạy tôi kiểm tra, so sánh các yêu cầu sau: + Tích cực suy nghĩ lĩnh hội kiến thức, rèn luyện kĩ năng. + Phát triển tư duy khái quát hóa, tổng hợp hóa. + Sáng tạo trong cách giải bài tập, mạnh dạn trình bày và bảo vệ ý kiến, quan điểm cá nhân. + Rèn luyện kĩ năng bộ môn Toán. Cùng những kinh nghiệm của đồng nghiệp, từ thực tế lên lớp, qua những tiết bồi dưỡng học sinh giỏi. Bản thân luôn có sự thử nghiệm, so sánh và ghi chép những điều cần thiết cho tiết dạy sau tốt hơn, hiệu quả hơn tiết dạy trước. - Thực hiện chuyên đề về “Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dành cho học sinh khối 8,9”.trong tổ chuyên môn để tranh thủ tiếp thu những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp trong tổ. CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG – GIẢI PHÁP
- Học sinh thường gặp những bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức mà không biết phải sử dụng phương pháp nào để chứng minh nên lúng túng trong biến đổi,tính toán - Để có cơ sở vận dụng tốt phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức các em cần nắm vững kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.Nếu không dễ bị dẫn đến khó khăn, bế tắc II. Giải pháp: quá trình tiến hành để giải quyết vấn đề 1: CÁC KIẾN THỨC CẦN L¬ƯU Ý + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”. + Bất đẳng thức: (BĐT: Bunhiacopxki); Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . + ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab 0. + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Nếu thì min y = a khi f(x) = 0. Nếu y thì max y = a khi f(x) = 0. + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2). 2. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI • Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
Giải: Min A = 10 khi .
\= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36 Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5. \= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 2 Min C = 2 khi x = 1; y = 2. Bài toán 2: Tìm GTNN của: Giải: Ta có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) 0 hay Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) 0 hay Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi . Đặt thì t 0 Do đó N = t2 – 3t + 2 = . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Do đó khi Vậy min hay . Bài toán 3: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3. Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 Ngoài ra: x + y = 1 x2 + y2 + 2xy = 1 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1 \=> 2(x2 + y2) ≥ 1 Do đó và Ta có: và Do đó và dấu “=” xảy ra Vậy GTNN của Bài toán 4: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca. Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca \= (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) \= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì ) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 0 hoặc khi a = b = c = 1 Vậy GTNN của P = 0 khi a = b = c = 0 hoặc khi a = b = c = 1 Theo giả thiết ta có: 1 – a 0; 1 – b 0; 1 – c 0; (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc 0 P = a + b + c – ab – bc – ac Dấu “=” xảy ra khi a = 1; b = 0; c tùy ý Vậy GTLN của P = 1 khi a = 1; b = 0; c tùy ý Bài toán 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của x + y. Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2 2(x2 + y2) (x + y)2 Mà x2 + y2 = 1 (x + y)2 2 - Xét Dấu “=” xảy ra - Xét Dấu “=” xảy ra Vậy x + y đạt GTNN là . Bài toán 6: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 27. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx. Giải: Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 0 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx 0 (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) 3(x2 + y2 + z2) 81 x + y + z 9 (1) Mà xy + yz + zx x2 + y2 + z2 27 (2) Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx 36. Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3. Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2 Vì B 27 -14 P -14 Vậy min P = -14 khi Hay . Bài toán 7: Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = . Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy. Giải: Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1 Đặt t = xy thì: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101 \= (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45 và dấu “=” xảy ra x + y = và xy = 2. Vậy GTNN của P = 45 x + y = và xy = 2. Bài toán 8: Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2. Giải: Ta có: x + y = 2 y = 2 – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 \= x2 + 4 – 4x + x2 \= 2x2 – 4x + 4 \= 2( x2 – 2x) + 4 \= 2(x – 1)2 + 2 2 Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1. Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của: . Giải: * Cách 1: Ta cần tìm a để là bình phương của nhị thức. Ta phải có: - Với a = -1 ta có: Dấu “=” xảy ra khi x = -2. Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. - Với a = 4 ta có: Dấu “=” xảy ra khi x = . Vậy GTLN của y = 4 khi x = . * Cách 2: Vì x2 + 1 0 nên: (1) y là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm - Nếu y = 0 thì (1) - Nếu y 0 thì (1) có nghiệm hoặc Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. Vậy GTLN của y = 4 khi x = . Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: . Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm: (1) Do x2 + x + 1 = x2 + 2. .x + Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + 1 (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2) • Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0. • Trường hợp 2: Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là , tức là: Với hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là Với thì x = 1 Với a = 3 thì x = -1 Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có: GTNN của khi và chỉ khi x = 1 GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1 Bài toán 3: Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức: . Giải: Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2 (vì ab = 1) Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và . Ta có: (a + b) + Mặt khác: Suy ra: Với a = b = 1 thì A = 8 Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1. Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức: . Giải: Ta có thể viết: Do x > y và xy = 1 nên: Vì x > y x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có: Dấu “=” xảy ra (Do x – y > 0) Từ đó: Vậy GTNN của A là 3 hay Thỏa điều kiện xy = 1 Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC. Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: . Giải: * Cách 1: Điều kiện: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Chọn với Ta có: Vì y > 0 nên ta có: Dấu “=” xảy ra (Thỏa mãn (*)) Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3. * Cách 2: Ta có: Điều kiện: Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2 đạt GTLN. Ta có: Do nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm cho ta: Do đó Dấu “=” xảy ra (thỏa mãn điều kiện). Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3. Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: . Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số: (3; 4) và ( ta có: <=> \=> y Dấu “=” xảy ra <= hay \=> x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTLN của y là 10 khi x = * b) Gía trị nhỏ nhất: Ta có: y = \= Đặt: A = thì t2 = 4 + 2 4 \=> A và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5 Vậy y 3 . 2 + 0 = 6 Dấu “=” xảy ra khi x = 5 Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5 Bài toán 3: Tìm GTLN của biểu thức: y = Giải: Biểu thức có nghĩa khi 1996 Vì y với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1996 = 1998 – x <=> x = 1997 Do đó y2 Vậy GTLN của y là 2 khi x = 1997 3. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức: A = (2x – 3)2 – 7 với x hoặc x . Gợi ý: - Xét 2 trường hợp: x ≥ 3 và x ≤ -1 - Kết luận: Min A = 2 <=> x = 3 Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – 7 . Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = nhưng giá trị không thỏa mãn x , không thỏa mãn x . Do đó không thể kết luận được GTNN của A bằng – 7. Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + y2 Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4 Gợi ý: Từ x2 + y2 – xy = 4 <=> 2x2 + 2y2 – 2xy = 8 <=> A + (x – y)2 = 8 <=> Max A = 8 khi x = y Mặt khác: 2x2 + 2y2 = 8 + 2xy <=> 3A = 8 + (x + y)2 \=> A min A = khi x = - y Bài tóan 3: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức: A = Gợi ý: Từ (x2 – y)2 \=> Tương tự: \=> A => Max A = 1 khi Bài 4: Tìm GTNN, GTLN của A = Gợi ý: Vì x2 + 1 > 0 với mọi x A = => (A – 1) x2 – 2 x +A – 2 = 0 (1) A là một giá trị của hàm số <=> (1) có nghiệm. - Nếu A = 1 thì (1) <=> x = - Nếu A 1 thì (1) có nghiệm <=> Min A = với x = với x = CHƯƠNG III: KẾT QUẢ THỰC HIỆN Với phương pháp nghiên cứu như trên tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm“Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dành cho học sinh khối 8,9” Sau khi giảng dạy đề tài (dạng 1, 2, 3) tôi tiến hành làm bài kiểm tra kết quả thống kê như sau: Khối Điểm Số lượng 12 34 56 78 910 SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 9 15 1 6.7% 4 26.7% 5 33.3% 3 20% 2 13.3%
1. Hiệu quả : Sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy năm học 2019-2020 tôi thấy kết quả có sự thay đổi như sau: Thời điểm Điểm Số lượng 12 34 56 78 910 SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL Trước 15 8 53.3% 5 33.3% 2 13.3% Sau 15 1 6.7% 4 26.7% 5 33.3% 3 20% 2 13.3% Biểu đồ thể hiện sự thay đổi: 2.Ý nghĩa Sáng kiến kinh nghiệm trên đã được thử nghiệm và áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi của trường tôi. Trong thời gian áp dụng đề tài cho thấy học sinh tiếp thu nhanh vận dụng vào giải bài tập nhanh, khoa học, chính xác.Nhiều em còn đề xuất những hướng giải khác và tổng quát hóa bài toán. Các em ngày càng yêu thích môn Toán hơn chính vì thế mà học sinh giỏi môn Toán các cấp của trường tôi ngày càng tăng về số lượng và chất lượng Tuy nhiên bên cạnh đó một số ít học sinh còn chưa chịu khó nghiên cứu tài liệu và trao dồi học hỏi bạn bè, nên đôi khi còn lúng túng trong việc vận dụng các phương pháp trên.Do đó trong quá trình giảng dạy đề tài tôi luôn kiểm tra, đánh giá cụ thể từng bài, từng em trong từng giai đoạn để việc giảng dạy, bồi dưỡng được tốt hơn. II. Khuyến nghị: + Đối với giáo viên:Phải tự học tự nghiên cứu nắm vững nội dung bất đẳng thức đối với cấp THCS để việc giảng dạy và áp dụng được tốt hơn. + Đối với nhà Trường : tổ chúc quán triệt nề nếp trong dạy học để tạo hứng thú cho học sinh yêu thích môn học hơn; thường xuyên các buổi họp rút kinh nghiệm . + Đối với cấp Phòng :Cần tổ chức sinh hoạt chuyên đề về đề tài Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dành cho học sinh khối 8,9 nói riêng và nhiều đề tài khác nói chung để giáo viên có điều kiện trao đồi, nghiên cứu nhiều hơn. Với sự cố gắng thực hiện tích cực các tiết dạy về Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dành cho học sinh khối 8,9. Trong nhiều năm qua bản thân đã tích góp được một số kinh nghiệm cần thiết. Mong rằng sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu hữu ích cho đồng nghiệp tham khảo, tuy nhiên trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Sự đóng góp ý kiến của quí thầy cô cho đề tài sẽ là nguồn khích lệ, động viên lớn lao cho bản thân ngày càng cố gắng hơn nữa, cống hiến nhiều hơn nữa cho sự nghiệp giáo dục. |
