Bài tập tính hoàn lưu của trường vecto năm 2024
Seminar thứ Sáu, 07/03/2014, thầy Dũng có đưa ra khái niệm về trường véc-tơ đầy trên đa tạp. Dưới đây ta quan sát một số trường véc-tơ đơn giản trên đa tạp một chiều. Show Trước hết ta xem trường véc-tơ đầy trên đường tròn là gì? (Trên đa tạp nói chung hơi trừu tượng!) Hàm véc-tơ cho ta một trường véc-tơ đầy trên đường tròn nếu -các thành phần của nó là hàm trơn, -với mỗi véc-tơ là véc-tơ tiếp xúc với đường tròn tại điểm -với mỗi , hệ phương trình
với điều kiện có nghiệm xác định trên toàn bộ đường thẳng. Có thể thấy trường véc-tơ là trường véc-tơ đầy. Có thể thấy hình ảnh của trường này khi ta có một chuyển động tròn đều: chuyển động chỉ thay đổi hướng mà không thay đổi tốc độ. Trường véc-tơ thú vị khác Có thể hình dung “không hoàn toàn chính xác” về trường này: đặt vòng đứng rồi rỏ nước xuống đỉnh của vòng tròn, chuyển động của các giọt nước cho ta trường véc-tơ này. Ta xét hệ phương trình với Không khó để thấy từ hệ nên Do đó (+) (+) Các bạn thử chứng minh xem bài toán trên chỉ có duy nhất nghiệm hằng ? Lúc đầu tôi nghĩ đây là trường không đầy! Nghiệm hằng đã đẩy lùi suy nghĩ không đúng này. Thực ra đã có kết quả sau: Mọi trường trơn trên đa tạp compact đều đầy! Kết quả này có thể nói là hệ quả của Định lý thác triển nghiệm đến tận biên trong phương trình vi phân. Tập Bài giảng vẫn đang trong quá trình hoàn thiện và có thể chứanhững lỗi đánh máy, những lỗi kí hiệu và những chỗ sai chưa được kiểm tra hết. Tác giả mong nhận được sự đóng góp ý kiến để tập Bài giảng được hoàn thiện. Mọi ý kiến đónggóp xin vui lòng gửi về địa chỉ “[email protected]” Warning: This lecture notes have not been reviewed and may contain errors or typos. Use at your own risk! Hà Nội, Ngày 9 tháng 7 năm 2018. ####### 2 MỤC LỤC
|