- LG a
- LG b
- LG c
Cho hàm số \[y = {x^2} + x - 2\] có đồ thị là parabol [P], hàm số \[y = 3x + k\] có đồ thị là đường thẳng [d].
LG a
Hãy biện luận số nghiệm của phương trình \[{x^2} + x - 2 = 3x + k,\] từ đó suy ra số điểm chung của parabol [P] và đường thẳng [d].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[{x^2} + x - 2 = 3x + k\] tương đương với phương trình
\[{x^2} - 2x - \left[ {2 + k} \right] = 0\] [1]
Phương trình bậc hai [1] có biệt thức thu gọn \[\Delta ' = k + 3.\] Do đó :
Nếu k < -3 thì < 0, phương trình [1] vô nghiệm nên đường thẳng [d] và parabol [P] không có điểm chung nào.
Nếu k = -3 thì = 0, phương trình [1] có một nghiệm nên đường thẳng [d] và parabol [P] có một điểm chung.
Nếu k > -3 thì > 0, phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt nên đường thẳng [d] và parabol [P] có hai điểm chung phân biệt.
LG b
Với giá trị nào của k thì đường thẳng [d] cắt parabol [P] tại hai điểm nằm ở hai phía khác nhau của trục tung ?
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng [d] cắt parabol [P] tại điểm nằm ở hai phía khác nhau của trục tung khi và chỉ khi phương trình [1] có hai nghiệm trái dấu, nghĩa là
\[ - \left[ {2 + k} \right] < 0,\] hay \[k > - 2\]
LG c
Với giá trị nào của k thì đường thẳng [d] cắt parabol [P] tại hai điểm phân biệt ở về cùng một phía của trục tung. Khi đó hai điểm ấy nằm ở phía nào của trục tung ?
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng [d] cắt parabol [P] tại hai điểm nằm ở cùng một phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình [1] có hai nghiệm cùng dấu. Nếu gọi hai nghiệm ấy là \[x_1\]và \[x_2\]thì \[x_1+ x_2= 2 > 0\]. Điều đó chứng tỏ rằng khi hai nghiệm cùng dấu thì chúng có dấu dương, nghĩa là hai giao điểm nằm ở bên phải trục tung. Muốn vậy, ta phải có:
\[\Delta ' = k + 3 > 0\] và \[ - \left[ {2 + k} \right] > 0\] tức là \[- 3 < k < - 2\].