Chất lỏng lý tưởng là gì năm 2024

Việc phân tích chuyển động của chất lỏng,khí trong phương trình Navier-Stokes được Prandlt tiếp tục nghiên cứu vào năm 1904 – đã chỉ ra rằng trong trường hợp chất lỏng có độ nhớt nhỏ ( chất khí, nước, ….) với điều kiện số Reynolds đủ lớn thì sự ảnh hưởng của (độ) nhớt chỉ được tính đến ở lớp mỏng, hẹp tiếp giáp với bề mặt vật rắn, nơi mà dòng khí chảy qua. – lớp hẹp này được gọi là lớp bề mặt. Ở phía ngoài lớp bề mặt này thì lực nhớt tương đối nhỏ nên có thể bỏ qua được trong phương trình Navier-Stockes.

Khi đó chúng ta nhận được hệ phương trình chuyển động của chất lỏng (khí) lý tưởng như sau: (81)

Hệ phương trình trên được viết lại ở dạng véc-tơ :

(82)

Trong rất nhiều trường hợp, vì sự truyền nhiệt chỉ thực sự quan trọng ở lớp bề mặt nên đối với phần còn lại của luồng khí phương trình chuyển động được mô tả như sau (dựa theo phương trình 50):

(83)

Khi dòng chảy ở trạng thái dừng, phương trình được viết lại như sau

(84)

Nếu không tính đến ma sát và sự truyền nhiệt, trong chất khí xảy ra quá trình đoạn nhiệt lý tưởng, thì phương trình năng lượng được mô tả ở trên sẽ được thay thế bằng phương trình đoạn nhiệt lý tưởng. Tức:

(85)

Trong trường hợp nếu như chất lỏng là lý tưởng và không nén được ( ) thì việc khảo sát hệ phương trình (81) được đơn giản đi khá nhiều. Việc này được thực hiện đầu tiên bởi Euler. Phương pháp phân tích để tìm lời giải cho hệ phương trình chuyển động Euler có vai trò quan trọng trong việc xem xét bài toán dòng khí bao quanh một vật thể ( cánh, lưới của cánh, vật thể có hình dạng đối xứng, kênh,….). Từ tập hợp những công trình này đã tạo ra một hướng đi quan trọng cho cơ học hiện đại, đó là thủy động lực học cổ điển. Kết hợp với lý thuyết về lớp bề mặt, thủy động lực học chất lỏng lý tưởng đã trở thành công cụ mạnh mẽ giải quyết những bài toán khí động lực học máy bay, thủy động lực học tàu bè, cơ học chuyển động của chất lỏng trong ống và nhiều trường hợp khác.

Ví dụ, khi chất lỏng bao quanh một vật thể có hình dạng nhẵn mịn, trong điều kiện số Reynolds lớn, vì lớp bề mặt rất mỏng nên sự phân bố áp suất theo bề mặt vật thể được xác định từ phương trình chuyển động chất lỏng lý tưởng theo phương pháp gần đúng bậc 1. Tiếp theo, từ sự phân bố áp suất đã biết (sẽ trình bày trong chương 6) chúng ta có thể tính được lớp bề mặt và tìm được ứng suất ma sát trên bề mặt vật thể. Nếu sử dụng phương pháp gần đúng bậc 2, chúng ta có thể tính được sự ảnh hưởng của lớp bề mặt lên dòng chảy bên ngoài bao quanh vật thể (phía ngoài của lớp bề mặt) và sau đó có thể tính được ứng suất ma sát một cách chính xác hơn. Nhưng thường trong các tính toán người ta không dùng đến phương pháp gần đúng bậc 2, vì bậc 1 cũng có thể cho kết quả khá chính xác.

Chúng ta sẽ nhận được lời giải của hệ phương trình chuyển động (81) rất đơn giản trong trường hợp chuyển động không rối của chất lỏng – khi độ xoáy bằng không ( xem công thức (86)) (86)

Từ công thức (86) ta thấy rằng luôn tồn tại một hàm số, thỏa mãn đạo hàm riêng theo các hướng luôn bằng các thành phần vận tốc theo chính hướng đó:

Thật vậy, khi đặt những giá trị này vào hệ phương trình (86) chúng ta nhận được những đẳng thức sau:

Hàm được gọi là thế (năng) vận tốc, còn chuyển động không rối được gọi là chuyển động thế năng.

Trong vế trái phương trình đầu tiên của hệ (81) chúng ta thay thế phần tử đạo hàm toàn phần của vận tốc bởi biểu thức khai triển theo đạo hàm riêng phần của nó và thêm vào nó 1 biểu thức sau ( biểu thức này không làm biến đổi giá trị của phương trình, vì nó bằng 0)

thì chúng ta sẽ nhận được phương trình tóm gọn như sau:

(87a) trong đó – vận tốc toàn phần của tiết diệt chất lỏng.

Bằng phép biến đổi tương tự chúng ta sẽ nhận được các phương trình chuyển động còn lại của hệ.

(87b)

Hệ phương trình (87) được gọi là hệ Lam-ba Grom-me-ko. Giã sử tồn tại thế năng vận tốc , thế năng lực khối thõa mãn:

đồng thời cũng tồn tại một hàm nào đó tương ứng với điều kiện sau:

thì phương trình (87) sẽ được viết lại như sau:

(88)

Trong phép biến đổi này, chúng ta đã sử dụng điều kiện không phụ thuộc lẫn nhau vào bậc của đạo hàm.

Nếu như chúng ta nhân phương trình đầu tiên của hệ (88) cho , phương trình thứ 2 cho , phương trình thứ 3 cho và sau đó cộng cả 3 phương trình này lại với nhau thì ta sẽ nhận được.

Những thành phần trong cặp dấu ngoặc vuông của phương trình (89) là những đạo hàm toàn phần, vì vậy phương trình (89) có thể được viết lại như sau:

(90)

Tích phân phương trình (90) và nhận được tích phân La-gờ-ran:

(90a)

– hàm bất kì theo thời gian.

Theo định nghĩa hàm số thì:

nên tích phân La-gờ-ran có thể được viết lại như sau:

(90b)

Trong trường hợp dòng chảy dừng () thì:

Nếu chất lỏng ba-rô-tờ-rô-pic – tức là khối lượng riêng của chất lỏng chỉ phụ thuộc vào áp suất – thì tích phân (90b) luôn luôn tính được; trong điều kiện chuyển động ở trạng thái dừng (viết ngắn ngọn : chuyển động dừng) của khí (lỏng) không nén ( \rho = const) thì tích phân La-gờ-ran được biểu diễn như sau:

Một sự đặc biệt quan trọng của tích phân La-gờ-ran là tích phân này luôn đúng trong tất cả không gian – vùng mà chất lỏng chiếm chỗ.

Nếu như thế năng vận tốc không tồn tại, nghĩa là chất lỏng đang chuyển động rối, và trong điều kiện chuyển động dừng thì phương trình chuyển động của chất lỏng lý tưởng (81) cũng có thể tích phân được dọc theo đường dòng. Trong chuyển động dừng, một đơn vị dịch chuyển của hạt chất lỏng dọc theo đường dòng là . Nếu chiếu lên các trục thì ta nhận được:

Nhân mỗi phương trình của hệ (81) cho mỗi thành phần theo trục của đơn vị dịch chuyển và cộng 3 phương trình này lại với nhau ta nhận được:

Thành phần bên trái của phương trình vừa nhận được là đạo hàm toàn phần của (). Nếu như tồn tại một hàm thế năng lực () và chất lỏng ba-rô-tờ-rô-pi () , thì phương trình trên có thể được viết lại như sau:

Tích phân 2 vế phương trình trên, chúng ta sẽ nhận được tích phân Be-rờ-nu-ly (Bernoulli):

hoặc :

Nếu như trường lực là lực trọng trường của trái đất và trục hướng thẳng đứng, thì hình chiếu của lực tác dụng lên một đơn vị khối lượng hạt sẽ là:

Trong trường hợp này, tích phân Be-rờ-nu-li được viết lại giống với biểu thức đã nhận được ở chương 1.