Cho tam giác abc một đường trung bình

Hình học luôn là một trong những phần kiến thức khá khó khăn và nhiều mới lạ đối với các bạn học sinh. Bởi lẽ nó có rất nhiều lý thuyết cần nhớ và vận dụng ở các dạng bài tập khác nhau. Một trong số đó phải kể đến đó chính là những kiến thức các bạn cần ghi nhớ trong chương trình toán hình học lớp 8 về đường trung bình. Trong bài viết dưới đây, hãy cùng Cmath tổng hợp lý thuyết về đường trung bình của tam giác, hình thang nhé.

Lý thuyết về đường trung bình trong tam giác

Định nghĩa về đường trung bình của tam giác

Định nghĩa về đường trung bình trong tam giác được hiểu như sau:

“ Đường trung bình của tam giác là đường thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác đó.”

Cụ thể:

Cho tam giác ABC, điểm D là trung điểm của cạnh AB, điểm E là trung điểm của cạnh AC. Khi đó, theo định nghĩa ta sẽ có:

• DA = DB và EA = EC
• Đoạn thẳng DE là đường trung bình của tam giác ABC

Lưu ý: Bất kỳ loại tam giác nào, kể cả tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông hay tam giác thường đều có đường trung bình.

Đường trung bình của tam giác

Định lý về đường trung bình của tam giác

Đường trung bình trong tam giác có hai định lý cần chú ý sau đây:

Định lý 1:

“ Nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đường thẳng đó sẽ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.”

Cụ thể:

Cho tam giác ABC có điểm D là trung điểm của cạnh AB, điểm E là một điểm của cạnh AC. Đoạn thẳng DE song song với cạnh BC. Theo định lý 1, ta có:

Nếu DA = DB thì khi đó: EA = EC

DE // BC

\=> Điểm E là trung điểm của cạnh AC

Định lý 2:

“ Đường trung bình của một tam giác sẽ song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy.”

Cụ thể:

Cho tam giác ABC có đoạn thẳng DE là đường trung bình của tam giác. Khi đó, theo định lý 2, ta sẽ có:

• DA = DB và EA = EC
• DE // BC và DE = 12 BC.

Tính chất của đường trung bình trong tam giác

• Trong một tam giác, đường trung bình luôn song song với cạnh còn lại của tam giác đó
• Đường trung bình sẽ tạo nên một tam giác nhỏ bên trong và tương tự với tam giác ban đầu
• Diện tích hình tam giác nhỏ tạo được từ đường trung bình sẽ bằng 14 diện tích hình tam giác ban đầu
• Chu vi hình tam giác nhỏ tạo được từ đường trung bình sẽ bằng 12 chu vi hình tam giác ban đầu
• Tam giác nhỏ hơn tạo từ đường trung bình đồng dạng với tam giác ban đầu. Chính vì thế, các góc tương ứng của hai tam giác này sẽ đồng dạng với nhau và các góc tương ứng của hai tam giác đều có cùng số đo.

Lý thuyết về đường trung bình trong hình thang

Định nghĩa về đường trung bình của hình thang

Định nghĩa về đường trung bình trong hình thang được hiểu như sau:

“ Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên hình thang đó.”

Cụ thể:

Cho hình thang ABCD, hai điểm E, F lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AD và BC. Khi đó, theo định nghĩa ta có:

• EA = ED và FB = FC
• Đoạn thẳng EF là đường trung bình của hình thang ABCD

Đường trung bình của hình thang

Định lý về đường trung bình của hình thang

Đường trung bình trong hình thang có hai định lý cần chú ý sau đây:

Định lý 1:

“ Một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai cạnh đáy thì sẽ đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.”

Cụ thể:

Cho hình thang ABCD có cạnh đáy AB và CD. E là trung điểm của cạnh AD, điểm E là một điểm của cạnh bên BC. Đoạn thẳng EF song song với hai cạnh đáy. Theo định lý 1, ta có:

Nếu EA = ED thì khi đó: FB = FC

EF // AB //CD

\=> F là trung điểm của cạnh BC

Định lý 2:

“ Trong một hình thang, đường trung bình sẽ song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy của hình thang đó.”

Cụ thể:

Cho hình thang ABCD có cạnh đáy AB và CD. Đoạn thẳng EF là đường trung bình của hình thang đó. Theo định lý 2, ta sẽ có:

• EA = ED và FB = FC
• EF // AB // CD và EF = 12 ( AB + CD )

Tính chất của đường trung bình trong hình thang

• Đường trung bình của hình thang chia hình thang ban đầu thành hai hình thang nhỏ. Mỗi hình thang nhỏ sẽ bằng một nửa hình thang ban đầu.
• Đường trung bình của hình thang luôn song song với hai đáy và có độ dài bằng trung bình cộng của độ dài hai cạnh đáy đó.
• Diện tích hình thang bằng đường cao nhân với đường trung bình của hình thang đó.

Các dạng bài tập thường gặp về đường trung bình

Bài tập về đường trung bình của tam giác, hình thang

Dạng 1: Chứng minh các hệ thức về cạnh và góc. Tính độ dài các cạnh và góc đó.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của đường trung bình của tam giác và hình thang, ta có được:

• Đường trung bình của tam giác sẽ song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh đó.
• Đường trung bình của hình thang sẽ song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai cạnh đáy đó.
• Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì sẽ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
• Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai cạnh đáy thì sẽ đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.

Dạng 2: Chứng minh một cạnh là đường trung bình của tam giác, hình thang đó.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa về đường trung bình trong tam giác, hình thang, ta có được:

• Đường trung bình của tam giác chính là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác đó
• Đường trung bình của hình thang chính là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang đó.

Kết luận

Trên đây là tổng hợp lý thuyết về đường trung bình của tam giác, hình thang các bạn học sinh cần ghi nhớ và lưu ý. Hy vọng, qua bài viết này, Cmath sẽ cung cấp cho bạn đầy đủ những kiến thức cần thiết để bạn có thể nắm thật chắc về đường trung bình. Từ đó, các bạn sẽ tự tin làm bài và áp dụng để giải quyết các dạng bài toán hình học sau này thật dễ dàng hơn.