Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ \[Bx \bot AB\] và \[Cy \bot AC.\] Gọi M là giao điểm của Bx và Cy.
a] Chứng minh rằng \[\Delta ABM = \Delta ACM.\]
b] Chứng minh rằng \[AM \bot BC.\]
c] Kẻ \[BN \bot C[N \in AC],\] gọi I là giao điểm của BN với AM. Chứng minh rằng tam giác BIM cân.
d] Chứng minh rằng \[CI \bot AB.\]
Lời giải chi tiết
a]Xét tam giác ABM vuông tại B và tam giác ACM vuông tại C có:
AB = AC [tam giác ABC cân tại A]
AM là cạnh chung.
Do đó: \[\Delta ABM = \Delta ACM\] [cạnh huyền - góc nhọn].
b] Xét tam giác BEM và CEM có:
EM là cạnh chung.
\[\eqalign{ & \widehat {EMB} = \widehat {EMC}[\Delta ABM = \Delta ACM] \cr & BM = CM[\Delta ABM = \Delta ACM] \cr} \]
Do đó: \[\Delta BEM = \Delta CEM[c.g.c] \Rightarrow \widehat {BEM} = \widehat {CEM}\]
Mà \[\widehat {BEM} + \widehat {CEM} = {180^0}\] [hai góc kề bù].
Nên \[\widehat {BEM} + \widehat {BEM} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {BEM} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BEM} = {90^0}\]
Vậy \[AM \bot BC.\]
c] Ta có: \[BN \bot AC[gt];MC \bot AC[gt]\]
\[\Rightarrow BN//MC \Rightarrow \widehat {BIM} = \widehat {IMC}\] [hai góc so le trong].
Mà \[\widehat {IMC} = \widehat {BMI}[\Delta ABM = \Delta ACM] \Rightarrow \widehat {BIM} = \widehat {BMI}.\]
Do đó: Tam giác BIM cân tại B.
d] Xét tam giác BIM và CIM ta có:
BM = CM \[[\Delta ABM = \Delta ACM]\]
IM là cạnh chung.
\[\widehat {BMI} = \widehat {CMI}[\Delta ABM = \Delta ACM]\]
Do đó: \[\Delta BIM = \Delta CIM[c.g.c] \Rightarrow \widehat {BIM} = \widehat {CIM}.\]
Mà \[\widehat {BIM} = \widehat {BMI}\] [chứng minh trên]. Do đó: \[\widehat {CIM} = \widehat {BMI}.\]
Mà hai góc CIM và BMI so le trong. Do đó CI // MB.
Mà \[MB \bot AB[gt] \Rightarrow CI \bot AB.\]