Đề bài
Cho đa giác đều có 2n cạnh\[{A_1}{A_2}...{A_{2n}}\]nội tiếp trong một đường tròn. Biết rằng tam giác có đỉnh lấy trong 2n điểm\[{A_1}...{A_{2n}}\]nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh lấy trong 2n điểm\[{A_1}{A_2}...{A_{2n}}\]. Tìm n.
Lời giải chi tiết
Có \[C_{2n}^3\] tam giác.
Mỗi hình chữ nhật được xác định bởi việc chọn 2 trong số n đỉnh ở nửa đường tròn.
Vậy có \[C_n^2\] hình chữ nhật.
Ta có phương trình \[20C_n^2 = C_{2n}^3\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 20.\frac{{n!}}{{2!\left[ {n - 2} \right]!}} = \frac{{\left[ {2n} \right]!}}{{3!\left[ {2n - 3} \right]!}}\\
\Leftrightarrow 10n\left[ {n - 1} \right] = \frac{{2n\left[ {2n - 1} \right]\left[ {2n - 2} \right]}}{6}\\
\Leftrightarrow 5\left[ {n - 1} \right] = \frac{{\left[ {2n - 1} \right]\left[ {2n - 2} \right]}}{6}\\
\Leftrightarrow 30n - 30 = 4{n^2} - 6n + 2\\
\Leftrightarrow 4{n^2} - 36n + 32 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 8\left[ {TM} \right]\\
n = 1\left[ {loai} \right]
\end{array} \right.
\end{array}\]
\[\Rightarrow n=8\].